证明从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵.
证 设 [tex=5.429x1.0]M77Im89n9ijU205Hut5rnj2yLZ2UBBYAZ+b0EAbQ3It9w4XCjuCJzSDVySxyPQRtxJ1Szfww+p/ufXEkXHWzvw==[/tex] 是标准正交基, 又 [tex=5.071x1.0]br4YQiZojeOV9plxntCaT/aj/k/1pbyQOFlCKOQSgpQHQeYXZKkZmHlABZXETQyG[/tex] 满足 [tex=9.429x3.286]Tr8+uuTcKdlMhdGTWmQMvhrYLVoLT0gvWUKQxG/lbhZvSiqUbVoeNPhYx5okB/vqiyYNGa3DeD97OalFDaQJzfaJ7QRH0rXcfOZE1md7GXs=[/tex]. 则 [tex=5.071x1.0]NzZ6KLIDIbvtohjtgkCrzNRiA55pZVdD40emiO+qi0bCML6mH03TyVH3jPW1vE7z[/tex] 是标准正交基, 当且仅当 [tex=3.214x1.357]aR5uS2r6XM454QPYY7vo8gcHOWsSCI4TVdTeJu00RkI=[/tex] 是酉矩阵.事实上,[p=align:center][tex=16.214x3.286]4dt0o5iJv2mv5kABua6GvCRGiaYa5Q7KKzacqcYe+VqlL912Hu+IVivuJ0G1gbHQRkKX0er3Yu4V7Jbl4g1Z/hIbta8XoYgcIb5AllafrihnjYn/KeyLxbe1FqaZz+nL/e5iy9GeIMO8IrGeCmxMDfbhk4Cw1s89R1z2b+lU3tjVGsPc8AaL53jsOCX+Z1z6pYPhJtYyunF0PjcXotaiMxvkzN9y1zNmhwdzt/R6wBRB4TDAut0Bp5J5/pcYXzfZ[/tex].于是 [tex=4.5x1.357]4dt0o5iJv2mv5kABua6GvCRGiaYa5Q7KKzacqcYe+Vrlgz7fHi1rxmdEm1Cxzharqpbl+5/Cmbdzo3Kqhy5fEQ==[/tex], 当且仅当 [tex=3.071x1.571]o+0bf9EnWfA4MBNvv6G1kf567vRUN6FkZm/yRbc2NUFk/nEPlB1SDM8tUuBVqI42[/tex], 即 [tex=0.714x1.286]BMKsEVFNvpiLV0UsqDFXCw==[/tex] 为酉矩阵.
举一反三
内容
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由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基。
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1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
- 2
关于正交变换，下列说法不正确的是( )。 A: 正交变换保持向量内积不变 B: 正交变换保持向量长度不变 C: 正交变换可以通过选择合适的基，使得其在该组基下的矩阵为对角矩阵 D: 正交变换把标准正交基变成标准正交基
- 3
任何Hilbert空间都具有标准正交基.
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可分的Hilbert空间H所具有的性质是（ ）. A: H一定存在标准正交基 B: H的标准正交基是不可数的 C: H的标准正交基是至多可数的 D: H必为非零Hilbert空间