证：设[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 为闭域，因为闭域是开域连同边界所成的点集，闭集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的所有聚点都属于 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]，所以，对 [tex=3.286x1.071]Elzt5DtqwNy8Y1wItxRj1qMcx+7g2OIIhyGTPYBycyY=[/tex]， 情况 [tex=0.929x1.071]pm5DZZhU0rqLI7X/k+2fKA==[/tex]： 当 [tex=1.643x1.071]hyT6nCzG+kCDbSTjc0bT2Q==[/tex] 开域 [tex=3.071x1.0]P5Y1lWjX8EjVDx58RbEJLcRMxuqYjPCfxWs/i7CDcxY=[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的内点 [tex=1.0x0.643]fbcADp95hCkhzh/bJicmUw==[/tex][tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 必为[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的聚点；情况[tex=0.929x1.071]ERIh15kCVMp+SfDxlLG6Eg==[/tex]： 当 [tex=7.643x1.071]BzBYJ1z5eH2OtTkGb5LgOvbWdqrssOVuFtCbnLtkkl5y5wtdJn9sbOIJbEY9zb0E[/tex]为[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的非孤立的界点 [tex=1.0x0.643]rZN8MkHzhsFLZhsOZ1PpmA==[/tex] [tex=0.643x1.0]ftNFI4J3r6VsNzYwd/vK3w==[/tex]为[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的 聚点。从而得知 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的一切点均为 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的聚点，故 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 为闭集。反之不真。反例：[tex=20.714x1.286]bLjL+w5rcGIf7NPSpMEWAbAozOZBE31UvZV3x6uIPiIFYCD1aCpffRmp6gLevFZ58BHJTZlqyykBbQ/cLiNgdrQ1iIJaS8iGjeks59C9Z53m4f2Dfoh+DZs3vDGqZGAYUBQeiAA/6YUZ0i4fj//C6g==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]的开域是[tex=12.643x1.571]Ql4vTVT29yq8Ybgpl0Hj7kQ1WKvhzT45kBvWYOET+TKd6hsRrHDEpWp7EAbZxGhLNps0d4RD2DzRXE0V139nTQ==[/tex],[tex=1.143x1.214]++5qO/sFVPTAa9giTTdTBw==[/tex] 的边界是 [tex=20.143x1.571]vq405reM6lsJ1gOjW9T6ayN2jii5NICjTFcIiaju7CcxnVjcYlDB6k1jm/0XiADkiD7sFhij1NqGFn0SBx2WuT7ifbYcdCNC24paxpCyhNQ7gSN7D5d7PAuT22Sa65Ko2iBlrwpZeDZRB+nKSD4Hdg==[/tex].闭域[tex=5.929x1.357]SP/DohIs1tNzl5BKbdum1NQ4Lcct/M5eKx1j2UXWFZjwftiArcUGLls86vBlklvR[/tex],又显然 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 中的一切点均为聚点，且为[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 的全部聚点，所以[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 为闭集，非闭域。