证明:秩等于 $r$ 的对称矩阵可以表成 $r$ 个秩等于 1 的对称矩阵之和.

2022-11-04

证明:秩等于 $r$ 的对称矩阵可以表成 $r$ 个秩等于 1 的对称矩阵之和.

答案：

证明 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个秩为 $r$ 的 $n$ 级对称矩阵,则有可逆矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 使其中 1 的个数等于 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的秩. 用[tex=6.571x1.357]76AlFK/Qf6WF6AcW/DMur8dDMZLzM3Yx8M9Z1cUsC8A=[/tex] 表示对角线上第 [tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex] 个 元素为 1 ,其余地方都为 0 的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级矩阵,则[tex=1.571x1.0]V8y28MaERr/m5oRx9bz/sg==[/tex][tex=26.929x4.929]a0s3MH7cLIdmiBRR0YN06wxwTfwSvYq89pOo+nchfVLL+5WLWklOei08DKltgQMVcRsD2BBHvoMyfABdNS5BuJdI2hinKQ0hVE+c/97eeALsDoSNIjILG70fnVhZM3mPok3i5nzzBpja7zQ2wHYfFBPG/Pu37/PthkVp2LAVnVynUWYcuDMbsEU4LZCAhwqTYylkM32TVSDHDoJJPoLWOd5iFSGLyVFD0FVqlYq2GRrNAoRrprnrXlbLhhzM/IBEh0nBO+lDbS1krA/AyLtTwJthlKo+SeuWsD944eycqPBWN8/0VYPRXNlzYY+DySNv8mDiOx6cwFSrxaqIACxM3jGTr3P+Q9xv/sJHwLxq3RQ=[/tex]因为[tex=1.143x1.214]FgaH1S9K3STgTG+U7wr4Yg==[/tex]的秩等于1, 而 [tex=1.786x1.214]CA5GvHJ7XBDWjiELcRLlMg==[/tex]为可逆矩阵,所以上式中的[tex=4.857x1.429]/jotZgKu92Ej34nRcNVq4tuAhoPemI/KwiJ896VisPdG7ZihXNeXd8NV9tUZM9yo[/tex] 的秩等于 1，而且[tex=12.071x1.643]MIxRXCuGxfJg2w9M4h1RLPaIHSSG9l/RO7KUrWZH/0SHEyUhL522JZdPuN+7iTdebXGq44gbAlY/WK3aGLhlsJ4D9qso0m+oJRzJBnvWvI5gH4VrlwxDJ1M+JPLR348L[/tex]因此[tex=11.143x1.5]/jotZgKu92Ej34nRcNVq4gkD0FJTdRlE2cHUFqDGrRAGELEWTKd6rqIt0gebg53xqOl705w7om5n+aL3e9ohUw==[/tex] 是对称矩阵. 因此 A 可以表成 r$个秩等于 1 的对称矩阵之和.

举一反三

内容

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求证: 秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的矩阵可以表示为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩等于 1 的矩阵之和, 但不能表示为少于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩为 1 的矩阵之和.
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上题的逆命题“r个秩为1的矩阵之和的秩为r”是否成立？成立请证明，否则举反例。
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如果矩阵A的秩等于r，则（）
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已知矩阵已知矩阵求秩r(AT)．已知矩阵求秩r(AT)．
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已知矩阵已知矩阵则秩r(A)＝______．已知矩阵则秩r(A)＝______．