已知两向量组有相同的秩,且其中之一组可被另一组线性表出. 证明:这两个向量组等价.
证明 设向量组[tex=5.571x1.214]yeVzZBBZCQfR+mjUDVHZBIps72nH2NpvZlBQepwtAa20I15S4FdkeG2INEYASP+5[/tex]可经 [tex=5.786x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHPpFHlKGuZ51iii+CZEnJIcBRzY8RvG9cjwSoPbigRLZ[/tex]线性表出，两者有相同的秩. 它们的极大线性无关组分别是 [tex=6.071x1.286]YAalcLfaNDgFk899+ltYkZqA00E+UT52Xn6SIpF9yw6O9hy2EmWEx/N6ytQnEE4L0ChTMcwUGXAmTtxbm3qBAA==[/tex]及[tex=11.143x1.286]uqbinjEX2c3tEhwealuA+47nDiPcRDkr7Fwat5UfuzZM63zNnTPZIqHrJVuPBScWERkjLrsBDFU3oVC0AZQQKrRsA7TBs+A0X866N3Fy5ieLC8o4heNNygOmKLNdGQ6j[/tex] 与 [tex=6.071x1.286]YAalcLfaNDgFk899+ltYkZqA00E+UT52Xn6SIpF9yw6O9hy2EmWEx/N6ytQnEE4LT4EmdiAZkm3T/VIfMDx3lg==[/tex] 可互相线性表出[tex=12.929x1.143]J1XOsHPpgU+n8FZGwWPeOQN1go3xLMmsNcNnh3xqMmd1cXkvxtk2oUiDTEi+4w5NDOQT2vj8n7MtCuh+uO3OVF3lJucz4hpjPRJE2jJQczPQhvwS5D2BRDnIUOVSGBTgLvvD8lzCd1Tnkial/x2zf4TrfJ2rkOuolF1UI2/VcQY=[/tex] 可互相线性表出,故 [tex=6.071x1.286]YAalcLfaNDgFk899+ltYkZqA00E+UT52Xn6SIpF9yw6O9hy2EmWEx/N6ytQnEE4LT4EmdiAZkm3T/VIfMDx3lg==[/tex] 可由[tex=6.429x1.071]uqbinjEX2c3tEhwealuA+47nDiPcRDkr7Fwat5UfuzZM63zNnTPZIqHrJVuPBScWV7kD6rzu/ddlmjYYmmOd/w==[/tex] 线性表來. 于是合成的向量组 [tex=8.214x1.286]uqbinjEX2c3tEhwealuA+47nDiPcRDkr7Fwat5UfuzZM63zNnTPZIqHrJVuPBScWBKqKnID3TXXtDIvcPv5MCa9I26rr7FpBx+hFfZ8MH00=[/tex][tex=4.714x1.357]wybXqh+A3hPTBTJ/Q1GRDkRmJC4uY3YIi5SLbyOy9Le1dYf7JLenzvoE93e4vKOH[/tex] 具有极大线性无关组 [tex=6.571x1.071]TzXIy3zXzXIBCbDzIdtcxU6BC1lohaAQ67m256L/KQ11wXnRg6rRqFm8yQeS9yoSUDloYEwvHjJiYSqQ/Ol15Q==[/tex] 故其秩为 r . [tex=12.929x1.286]bIo5qVHNoJiAjBrmCQ9clBItm0xR6zra+lmrzrKIHeOMV3wLTFxvgawCm2UM0yMQhJJ/qoATiqE+QDZYF8l+nm65Mg5Yq7SxWpRwLlKwZvMiuPqYN5cuXTjQYA+JEa+57m9Ce/meS+Er69qTY0Yt4/bC//VDDDpiIdeNimG38lQ=[/tex]中任意 $r$ 个线性无关的向量都是极大线性无关组, 特别地,[tex=6.071x1.286]YAalcLfaNDgFk899+ltYkZqA00E+UT52Xn6SIpF9yw6O9hy2EmWEx/N6ytQnEE4LWwj4U14BvDFJn/bYYfuJoQ==[/tex] 也是. 故 [tex=6.429x1.071]uqbinjEX2c3tEhwealuA+47nDiPcRDkr7Fwat5UfuzZM63zNnTPZIqHrJVuPBScWBudKeGCtyKGmfBnsLR/Uvw==[/tex]与[tex=6.0x1.286]l26u588dyw0Lqad/xGKu2DTZ0cm02o1zgt8DbeU3MMKYQZRwe2PEPtn4G7JAjiAVO06lIL7+HGn9YUqIRQKYPA==[/tex] 作为同一向量组的两个极大线性无关组必互相等价. 它们分别是 [tex=5.429x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHPpFHlKGuZ51iii+CZEnJIeQ2SZcQtnKa2wD0yKnYZ1K[/tex] 及 [tex=5.571x1.214]yeVzZBBZCQfR+mjUDVHZBIps72nH2NpvZlBQepwtAa35lT/afj+8A4uwbkvpkmrr[/tex] 的极大线性互关组，注意到 [tex=6.286x1.071]TzXIy3zXzXIBCbDzIdtcxU6BC1lohaAQ67m256L/KQ11wXnRg6rRqFm8yQeS9yoSzDEThXIHi8m+Xt05gzXMHQ==[/tex] 与 [tex=6.143x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHPpFHlKGuZ51iii+CZEnJIdjVoyMISp7qItRGKKr6lNkMfXKHoMItBZeHgh9jHuHOw==[/tex] 以及 [tex=6.214x1.286]l26u588dyw0Lqad/xGKu2DTZ0cm02o1zgt8DbeU3MMKYQZRwe2PEPtn4G7JAjiAVviBYkStxPvINCGGPkxCJyQ==[/tex]与[tex=5.571x1.214]0101bmhZt3h9368rJAQTkMzqXufbGzkG3fE4qqRLg9Q7T799lWBe3pHOECax6dxj[/tex]又分别等价. 由等价的传递性知 [tex=5.786x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHPpFHlKGuZ51iii+CZEnJIcBRzY8RvG9cjwSoPbigRLZ[/tex]与 [tex=1.214x1.214]VGIwQNHgTDnJqmobEjgBIw==[/tex][tex=4.214x1.214]IvRB2oaOu3yp0KENjBChoGwKVZf9l1nzDyQAF3MHTxAbTlvzQf+sPjaBSRC15d4Q[/tex]$\beta _{2},等价.
举一反三
内容
- 0
向量组Ⅰ：c1，c2，…，cr可以由向量组Ⅱ：b1，b2，…，bt线性表出，向量组Ⅱ可以由向量组Ⅲ：α1，α2，…，αs线性表出，则向量组Ⅰ可以由向量组Ⅲ线性表出．向量组Ⅰ可以由向量组Ⅲ线性表出，向量组Ⅱ可以由向量组Ⅲ线性表出，则向量组Ⅰ可以由向量组Ⅱ线性表出？
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两个向量组有相同的秩则这两个向量组有什么关系
- 2
设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt为两个n维向量组，且秩(α1，α2，…，αs)=秩(β1，β2，…，βt)=r，则（）。 A: 这两个向量组等价 B: 秩(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=r C: 当α1，α2，…，αs可以由β1，β2，…，βt线性表出时，这两个向量组等价 D: s=t时，这两个向量组等价
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向量组(I)与向量组(II)可以互相线性表出是向量组(I)与向量组（II）等价的___________条件; 向量组(I)与向量组(II)的秩相等是向量组(I)与向量组（II）等价的___________条件。（填充要；必要；充分）
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关于极大无关组，下面正确的说法是 A: 秩相同的向量组一定是等价向量组 B: 一个向量组的极大无关组是唯一的 C: 向量组与其极大无关组是等价的 D: 如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关