已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=11+x-1．令f′（x）=0，解得x=0．当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b．由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），由题设0＜a＜b，得b-a2a＞0，-1＜a-b2b＜0，因此ln2ba+b=-ln(1+b-a2a)＞-b-a2a，ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)＞-a-b2b，所以aln2aa+b+bln2ba+b＞-b-a2-a-b2=0．又2aa+b＜a+b2b，aln2aa+b+bln2ba+b＜alna+b2b+bln2ba+b．=（b-a）ln2ba+b＜（b-a）ln2综上0＜g(a)+g(b)-2g(a+b2)＜(b-a)ln2．
举一反三
- 设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
- 下列函数相等的是( )。 A: \( f(x) = \ln {x^2},g(x) = 2\ln x \) B: \( f(x) = x,g(x) = \sqrt { { x^2}} \) C: \( f(x) = \sqrt { { x^2}} ,g(x) = \left| x \right| \) D: \( f(x) = { { {x^2} - 1} \over {x - 1}},g(x) = x + 1 \)
- 下列各选项中，函数相同的是（ ）。 A: \(<br/>f(x) = \ln {x^2},g(x) = 2\ln x \) B: \(<br/>f(x) = x,g(x) = \sqrt { { x^2}} \) C: \(<br/>f(x) = \sqrt { { x^2}} ,g(x) = \left| x \right| \) D: \(<br/>f(x) = { { {x^2} - 1} \over {x - 1}},g(x) = x + 1 \)
- 已知函数$y= \ln (1+ x) $，则$y''(x) =$( )。 A: $\frac{1}{(1+x)^2}$ B: $-\frac{1}{(1+x)^2}$ C: $-\frac{1}{1+x}$ D: $\frac{1}{1+x}$
- 设f（x）=ln（1+x），求f（n）（x）.
内容
- 0
为使f（x）=1/x*ln(1+x*e^x)在x=0处连续，则需补充定义f（0）=
- 1
函数$f(x)=\ln \ln x$的导数是（ ）。 A: $\frac{1}{x}$ B: $\frac{1}{{{x}^{2}}}$ C: $\frac{1}{\ln x}$ D: $\frac{1}{x\ln x}$
- 2
已知f′（x）g（x）-f（x）g′（x）=x2（1-x），则函数f(x)g(x)（ ）
- 3
函数f(x)和g(x),定义运算＊：f(x)≤g(x)时,f(x)＊g(x)=f(x)；f(x)＞g(x),f(x)*g(x)已知f(x)=√(2x+5...
- 4
设函数f（x），g（x）二次可导，满足函数方程f（x）g（x）＝1，又f′（x）≠0，g′（x）≠0，则f″（x）/f′（x）－f′（x）/f（x）＝g″（x）/g′（x）－g′（x）/g（x）。