还不到十八岁的高斯发现了：一个正n边形可以用直尺和圆规画出当且仅当n是底下两种形式之一：k=0,1,2……十七世纪时法国数学家费马（Fermat）以为公式在k=0,1,2,3,……给出素数.（事实上,目前只确定F0,F1,F2,F4是质数,F5不是）.高斯用代数方法解决了二千多年来的几何难题,而且找到正十七边形的直尺与圆规的作法.他是那么的兴奋,因此决定一生研究数学.据说,他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正十七边形,以纪念他少年时最重要的数学发现.1799年高斯呈上他的博士论文,这论文证明了代数一个重要的定理：任何一元代数方程都有根.这结果数学上称为“代数基本定理”.事实上在高斯之间有许多数学家认为已给出了这个结果的证明,可是没有一个证是严密的,高斯是第一个数学家给出严密无误的证明,高斯认为这个定理是很重要的,在他一生中给了一共四个不同的证明.高斯没有钱印刷他的学位论文,还好费迪南公爵给他钱印刷.1807年高斯开始在哥廷根大学任数学和天文学教授,并任该校天文台台长.高斯在许多领域都有卓越的建树.如果说微分几何是他将数学应用于实际的产物,那么非欧几何则是他的纯粹数学思维的结晶.他在数论,超几何级数,复变函数论,椭圆函数论,统计数学,向量分析等方面也都取得了辉煌的成就.高斯关于数论的研究贡献殊多.他认为“数学是科学之王,数论是数学之王,”.他的工作对后世影响深远.19世纪德国代数数论有着突飞猛进的发展,是与高斯分不开的.二十岁时高斯在他的日记上写,他有许多数学想法出现在脑海中,由于时间不定,因此只能记录一小部份.幸亏他把研究的成果写成一本叫《算学研究》,并且在二十四岁时出版,这书是用拉丁文写,原来有八章,由于钱不够,只好印七章,这书可以说是数论第一本有系统的著作,高斯第一次介绍“同余”这个概念.