f(x)在〔0,1〕上连续.f(0)＝f(1)证明存在x使f(x)＝f(x＋0.5)
构造函数g(x)=f(x+0.5)-f(x),0≤x≤0.5则g(0)=f(0.5)-f(0)g(0.5)=f(1)-f(0.5)∵f(1)=f(0)∴g(0)=-g(0.5)若f(x)是常数函数,结论显然成立；否则,g(0),g(0.5)中必有一个正数一个负数,由连续函数介值定理知存在一个数0≤x≤0.5,使得g(x)=0故存在x,使得f(x)＝f(x＋0.5)
举一反三
- 设f（x）在【0,1】上连续,（0,1）可导.f（0）=0,f（1）=1.证明：存在C属于（0,1）使f（c）=1-c
- 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f'(x)>0,则A.()f(0)<0()B.()f(1)>0()C.()f(1)>f(0)()D.()f(1)
- 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f"(0)=f(1)=f"(1)=0．证明：方程f"(x)=f(x)=0在(0，1)内有根．
- f(x)在[0,1]上有连续的二阶导数，f(0)=f(1)=0,任意x属于[0,1],使得f(x)不等于0，则=
- 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
内容
- 0
设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。
- 1
设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f"(x)＜0，则____ A: f(0)＜0 B: f(1)＞0 C: f(1)＞f(0) D: f(1)＜f(0)
- 2
设函数分f（x）在区间【0，1】上连续，且满足0 <<f(x)> 证明至少存在一点 使f（c）=c
- 3
下列函数在x=0处连续的是（ ） A: f（x）=-1，(x≤0)x-1，(x＞0) B: f（x）=lnx C: f（x）=|x|x D: f（x）=-1，(x＞0)0，(x=0)1，(x＜0)
- 4
4.下列函数中，在区间$(0,1)$内必有零点的是（）。 A: $f(x)\in C(0,1)$，且$f(0)f(1)\lt 0$ B: $f(x)\in C(0,1)$，且$f(\frac{1}{2})f(1)\lt 0$ C: $f(x)\in C(0,1)$，且$f(0)f(\frac{1}{2})\lt 0$ D: $f(x)\in C(0,1)$，且$f(\frac{1}{4})f(\frac{1}{2})\lt 0$