证明：（1）若[tex=5.857x1.286]v9upWtyTJPE0qh/ZUkRfzl2aQcz7BvxKHSiVnhzeDk36kmbG6t6eNVeDRYZxXTaF4zV2jEMrkTu0Em2KBmEa9w==[/tex]是有界有限点集，定理成立；（2）若[tex=5.857x1.286]v9upWtyTJPE0qh/ZUkRfzl2aQcz7BvxKHSiVnhzeDk36kmbG6t6eNVeDRYZxXTaF4zV2jEMrkTu0Em2KBmEa9w==[/tex]是有界无穷点集，只需证[tex=13.571x1.286]vP4d8vgW4bxCxPwlZk88l5tbLKZTsGHgI+xY4MSQ6A1eczhzWPUxB9w/YzvYdjfsuHR5uJ6bYlyIreLvVDMnoz/z5KWvuSge5WlCdUeCHho=[/tex]中至少有一个聚点。反证。设[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]没有聚点。由于[tex=15.071x1.286]dz1YPG+RLC5mnc85xUWHFXovIltdSN4Pw0M8rVGj+sj+AI+IFv4eNTJnyy/Wa25LmBqoPNqcNUt4lm0Dk1o7vg0Xuc+q77MYuzd9G2+6ulB3unaXw2R10A8n3y0aPrt/[/tex]，而矩形域[tex=12.786x1.286]+SztMeml7tanTmeD9NGsbLINfutUpVFKkqAjBv1V7r0Ik0LKX0qzWyaJmYosWdCJgbnDyUR5sfuN4QB/lmqxpw==[/tex]是有界闭区域且[tex=2.857x1.286]6OI8OCYZSgUErgslUuBcJR1r+bY8fomc9uRiOwTFsvE=[/tex]。对[tex=5.786x1.286]Y6L18itWBG9R4JlHjDmwhfzhcB//PCFcfrnrhv55hGk=[/tex]，都不是[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]的聚点，因而存在[tex=1.286x1.286]AqlsisJAB3yj7UeMxcGGfA==[/tex]，使得[tex=4.357x1.286]j+Cn3vLfUCguP8ZQcqIucIeHCkw0Donib27k/8er/XYbiODnJGiAc3f5w0xVN5V/[/tex]至多有[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]中有限个点，[tex=9.143x1.286]kUBIXyDQ1sUc/RS6ao/c55oRFuH/wp1EQcZMhOCw35Ii/k7yG43udMoXXjUX/52l+0prU6nFx4Tj/pk0LuyK3Q==[/tex]覆盖[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]。据有限覆盖定理，存在有限个开集[tex=5.071x1.286]oZNXYQ4mnAKu9Aw7gd1tmzUqIK1Q9DeQlTCeUurnGGNQDcHwwQI5RflCNPbPIImF[/tex]，[tex=1.143x1.286]PZ3wc82RrbgX5KwVcyJcmA==[/tex]，[tex=5.143x1.286]FCv0jd9AD3eWmm/psCmHeDPIei68xi2JX80S89DjbotCjwUbcphO+eBTF5RiAZAr[/tex]，同样覆盖[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]，其中每个[tex=11.5x1.286]hMeEXebc4e7LxRh+R7f6Gv3gdhZko1VFmg7AzSlGtCnIpZ5uBFAhrOKyEZzrIj1cEySe4VlfyLrR+x9zDxb9wg==[/tex]中至多有有限个[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]中的点。 于是[tex=6.286x2.857]N/DxMnYvMmikN77S8GhnZsQ11FU8ePIoezwGlwadBmO+TYDR4wlPXLa3myc/VuPfg/LQopLbNocILbigSIn1pQ==[/tex]至多含[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]中有限个点；但由于[tex=10.429x2.857]N/DxMnYvMmikN77S8GhnZsQ11FU8ePIoezwGlwadBmO+TYDR4wlPXLa3myc/VuPfaWfeBNS7grTrDCYNCmPtGw4eQOxFr3avn2VZ9o1VFRE=[/tex]，于是矛盾。