设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是一个无零因子环且[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的每个加法子群都是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]或与[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]（[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]素数）同构，或与[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环同构。

2022-05-27

设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是一个无零因子环且[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的每个加法子群都是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]或与[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]（[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]素数）同构，或与[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环同构。

答案：

证明：分两种情形讨论。首先，讨论[tex=4.929x1.357]8yg0qvx6dxvIbe3FpEfTEw==[/tex]的情形，知[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是一个体，设[tex=0.5x1.286]pekqqwR+TSQ/3Q1AT26POw==[/tex]为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的幺元，于是[tex=6.929x1.357]bcYhWXnNMXCJp/7hjTLH8Xf5htxz+fQjBgSDlC2N4WaIRvjMae31WG6Iy3Z/DfoZXBy+/76bmIysHMr3xbKxbg==[/tex]是有限群，故为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想。对任一[tex=1.857x1.071]rUbxzFQmONnwB9B+S9WPhg==[/tex]，有[tex=6.143x1.357]HsEnCYT/ZVo/6UonhaJzkzCDS7opM/4PurqKZSZQhIE=[/tex]，于是[tex=11.0x1.357]kyllW/Og+dNRewhpy1AGAaToVBEBuOP0p8mhqmrLeFS5gHEZIcj/3FFx7e6iJpSp[/tex]。若[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为合数，则有[tex=2.786x1.0]QeHEGp/wdKa/0n7/YMY97Q==[/tex]，[tex=2.714x1.071]PvJ7ukUgTqOTlcb9YMteXA==[/tex]，[tex=2.429x1.286]644DLE5h1RvKzu92FQ48KQ==[/tex]，因而[tex=4.571x1.286]0KbYUrg3eZ425pHvGjbEzJoinqowqA9Dn+uTJxAX72A=[/tex]，而[tex=5.286x1.357]duQhtdTJSukdOptcKpQxhA==[/tex]，这与己知矛盾，于是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是素数，因此[tex=5.357x1.214]ZuF1FgQcMn+KdGrD72OShhT1KcU+T9cSlHBzYGC2jt4=[/tex]是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]到[tex=4.286x1.357]iVZoH6tJvh5UaXOiVS72mUWhCEehyZteAuCrzyjqHPe4O8Otryx3SiZb4bQBInoL[/tex]的同构。其次，讨论[tex=3.143x1.357]18dzS9YjmbOjwTCGFN+UhA==[/tex]的情形，设a[tex=2.0x1.071]cEfxtcWLM4J1W7/FE7wQ7Q==[/tex]，[tex=2.357x1.286]NmWLUlTOILHDfw7uqfi4DQ==[/tex]，若[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]生成的[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的加法子群[tex=7.0x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0MSqZA/g8+vJJpBE7Cs2Sd3UV99s93TkbIp7RxSJ0UhW78eU6Dj3FzqwIHdKLMlFkg==[/tex]是有限群，则[tex=11.0x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0HJuhZu/13U/oP9hW8rnfmuYXjRMePKaWXTMbeYFqAYN5nbaTGAegzIfNDtst19Yhg==[/tex]且为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想。由[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]无零因子，对[tex=1.929x1.071]wS0zCbNgD+Nsf/6CjQOd8g==[/tex]，[tex=2.214x1.286]Vk5HKs52CakNXjvOxxQ8DA==[/tex]，有[tex=6.357x1.357]wmstdLNLa+kbhtNd+8BopnrJNTUcipcRF/Pc7sAIRoIK5LPPjxEWS/DuVhlEBzkEl7p3NoSYnzOyVLpiyQQmrQ==[/tex]，因而有[tex=3.5x1.0]gHTxF253Pa6jQcAT9Sb7Dg==[/tex]，再由于[tex=3.143x1.357]18dzS9YjmbOjwTCGFN+UhA==[/tex]，有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]个互不相同的[tex=6.286x1.286]VEwtYMMvdkvLN1PLXdoMJDkVLhLJvc9hmCHScjpVFp1VJohPV5n2SeySAQKKcT3S[/tex]，因而有[tex=2.143x1.214]xzeznRlnAWdGaq5+ax3eV9yM5vzmHi1oHanOPJOa2gk=[/tex]，[tex=4.5x1.214]qC3BeI15/YH58Ka2oKTITg==[/tex]使得[tex=13.714x1.357]ETNOnBFBiHakx0xHxC6jSd2GHflV2UUmr7NyeJMIY6NY7o3upy4/IyKcrPa809OhC6HaGqgfoMLZdbK/lhY2x3GwS8TAxgjWz/5M685Jos4H4RBgUqmMsSfyIAi7N34J[/tex]，因此有[tex=2.071x1.286]bCbqR2I0HTkkebJOCx4ZjA==[/tex]，而[tex=2.214x1.071]IA2V801qEs5EhCGryNSfDg==[/tex]，这就产生矛盾，因而[tex=1.357x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0Gd4uDjR1gRFcqTenXrRKBI=[/tex]是无限群，于是[tex=1.857x1.071]rUbxzFQmONnwB9B+S9WPhg==[/tex]有唯一的[tex=2.571x1.214]7vrLD7ncIixV/Ufb8fydxpy9C0rTLKzG/IDmSpISB7E=[/tex]，使得[tex=3.5x1.214]g6tGEsRrM8Co3cNKD/8oDw==[/tex]，因而[tex=3.214x1.214]uj5AVgF2IMygdKPLw7YrVSQH9nbOFK82S220XHc/oxU=[/tex]是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]到[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的同态，于是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]同构于[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是幺环，[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]是一个[tex=1.929x1.286]SCa3vd/F3kUh+f+Liod5mQ==[/tex]群，假设存在[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]到[tex=2.929x1.286]rlxkJGoPslFJ/uhqxQOWxw==[/tex]的同态[tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex]，使[tex=4.214x1.357]WwfY4L+8tjxPUhvkdNLHFUOn0GmSE+0aGUorm6GQJJk=[/tex]，证明[tex=3.0x1.143]fAQasrARjAcvlz/j3pkFNA==[/tex]到[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]的映射[tex=8.071x1.357]EXHr1OF1FxXtDPHrtiy16NbEcQIiP4ajcpmLKKySJ2ZiX6Q4A1s2LndEd4+aVa8j[/tex]，[tex=2.0x1.071]uIrQpyHDCcqFaqZZEmU59g==[/tex]，[tex=2.214x1.071]FkAhmzF0HveZn4Av+O0d2w==[/tex]使[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]成为左[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模。
1
证明 :集合[tex=13.714x3.643]1SRQEQsw2EqIXC3oJ8f1M7rmJ5g5PphJRuOBiV8vox42Hu5SY+O1xru7XzJ70C5aGh9LLYHLTu6387EY6l+a3AP3FhSiN0GUZqyYWN13B7L0DRRwEyVund1aCDMmR/NRrxMHgjFwAirGlbPAaXvWMw==[/tex]，当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为有理数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]还作成域,但当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为实数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]不作成域.
2
设关系 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 和 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 的元组个数分别为 100 和 300 , 关系 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 与 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 的笛卡尔积,则 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]的元组个数是 A: 400 B: 10000 C: 30000 D: 90000
3
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]，[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]都是幺环，[tex=0.786x1.143]Fx9OZJkFOsEKWqHq2ldQJA==[/tex]，[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]分别为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的幺元，映射[tex=3.714x1.214]CvfCeDGXNyepssyzmki33HDVaWzCx2JS9WFNkB4Qk6Y=[/tex]是同态且[tex=3.643x1.429]yf5JDaNkdR3YDbV38a/wgh9R0HFW/7T44NIbm+zVfHU=[/tex]，又设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]是一个[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模，证明：[tex=2.857x1.143]ioqC9rRqzIAxmZ0sUU0HEQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]映射[tex=6.0x1.357]0z0Id8cj43tSuGKa24+46oPjniVcoD2tN5HAEnuqk24=[/tex]，[tex=2.357x1.286]NxjaiHDMvwiWn79bA8lJJQ==[/tex]，[tex=2.857x1.286]rMPwe7sc/P6V7JoJW2PjKw==[/tex]使[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]成为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]模。
4
一半径为 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 的导体球带电荷 [tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex], 处在介电常量为 [tex=0.5x1.286]URO1dJ1+mlA+ct1xhInvUdmF3M0RCUt7FyFmkNxsEyQ=[/tex] 的无限大均匀电介质中。求:[br][/br](1) 介质中的电场强度 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 、电位移 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 和极化强度 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 的分布;[br][/br](2) 极化电荷的面密度 [tex=1.286x1.286]bkAu3OXz0ogKgcDkKERyAtZCqlT50gyVg26ErkNvltY=[/tex].