证明：若函数[tex=6.714x1.357]zBuuql5iVPsIOBOlTDliNZ4FdZXeCLEJ7IUxBHpvG6Y=[/tex]在[tex=2.0x1.357]EiXU9qz3PzeFr/3MfMR+WQ==[/tex]上均为有界函数，则[tex=4.929x1.357]oT9kZmCTUFjWi6iz0xRX8A==[/tex]及[tex=3.714x1.357]1o7EEPK7fW8fDTr3dF6q2g==[/tex]也都是[tex=2.0x1.357]EiXU9qz3PzeFr/3MfMR+WQ==[/tex]上的有界函数.
举一反三
- 在[tex=1.0x1.214]l5kxUm/2uqMASKJ0DYx3bA==[/tex]关于有界函数的定义下，证明函数[tex=1.857x1.357]qxhp6EUzGBttt1dIL4Pidw==[/tex]在区间[tex=2.0x1.357]EiXU9qz3PzeFr/3MfMR+WQ==[/tex]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得[tex=9.214x1.357]r+lvSTmOlM/WHUE2ttlngEpVsczVJtjVZEar/bwCwgAn8y8sOP9odUWHtgFUtM4E[/tex]定义：既有上界又有下界的函数称为有界函数.换句话说,我们称[tex=4.786x1.214]hOBCJ1v4GDT5ivloPEdwO65SKws+WbKtMumHxwNzIR4=[/tex]是有界函数, 如果存在两个实数[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]与[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex],使得[tex=10.357x1.357]4WxDrMJz/r/r1VdjWv+1V2CdnevXqJVc7AxOw/SRyXYJyoGK3fAzPhzOi1t8g+k9aN8iCsi3/0eaqiyW6VOA3A==[/tex]
- 若:(1)函数 f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数;(2)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]有导数;(3)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数及函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数,则函数[tex=5.643x1.357]GmtX7Vop79exGU/rpqXUYw==[/tex]在已知点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]的可微性怎样?
- 设[tex=1.429x1.214]H8qsSWZYwXBt+UVrO31MrQ==[/tex]均为定义在[tex=2.0x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上的有界函数，证明：若仅在[tex=2.0x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]中有限个点处[tex=5.0x1.357]huUrXr6Z1rsv5C6LP4MIkg==[/tex]，则当[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在[tex=2.0x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上可积时，[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]在[tex=2.0x1.357]Q20AODdbLvkRLRR8X13dbw==[/tex]上也可积，且[tex=10.286x2.857]YQy8o6xXV2vuInKBm3FsSoz2Z90+AIx5XYsf6CImCA9WBnANclPis7+H2Nr/9GSQ[/tex].
- 证明: 若闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的单调有界函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能取到 [tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex] 和 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 之间的一切值,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数.
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.