设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵, 证明:[tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex]与[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]都是正定矩阵.

2022-07-27

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵, 证明:[tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex]与[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]都是正定矩阵.

答案：

 证明: 易知[tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex] 与[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]都是实对称矩阵. 且 [tex=5.643x1.5]PiuhubNCP5z6cDREHuNx2aOjVAqnh8xWoHCJTC9NQzg=[/tex]. 因[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定, 存在可逆实矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]使[tex=3.5x1.214]bnDJn6SzNaU+I5b3xC33FQ==[/tex]. 从而[tex=6.0x1.214]rO4wYTQZOYe0/wfkHnqPfTVCbSuRg4pEZwdEBQOJpUU=[/tex]也正定. 由 [tex=2.643x1.357]ot+l0MuGoBe0ElBzRafSqQ==[/tex] 可知[tex=5.643x1.5]PiuhubNCP5z6cDREHuNx2aOjVAqnh8xWoHCJTC9NQzg=[/tex]也正定.

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶负定实对称矩阵, 求证: [tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex] 也是负定阵; 当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为偶数时, [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 是负定阵, 当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数时, [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 是正定阵.
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证明:若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定矩阵，则其伴随矩阵 [tex=1.143x1.071]nnt6woQbTr+wrutPzAntHg==[/tex]也是正定矩阵.
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若[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称的可逆矩阵，证明[tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex]也是对称矩阵.
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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为阶矩阵，[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵，证明:[tex=12.143x4.5]9v4ak5prH0Q6BbqemWvBfoWrDR0F9IqkrexiZtBfHLCiuDhClSxCnaZ8HecEUWGznWxWNdfKvqOfSz4tcOb2JvuC2/f0gyZtOLJWrH2lLMOAX8NhgEmWJ3jqE6CC29macAHi1u1FphHRkrGEjVf+/w==[/tex]
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设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]为满秩矩阵，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵。证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则[tex=3.286x1.214]tfkJC0go85s+r+gIn+qVcQ==[/tex]是正定矩阵。