设R是实数集合,证明R的可以写成[tex=13.571x1.286]FdxCiofITYLhsQdt+/CoBDYS2zeA+bF4cgB0+szT05T7KxtXV2gl3+/WQ2ruUgup[/tex]形式的所有变换构成一个群（成为变换群），它是否为阿贝尔群？

2022-07-24

设R是实数集合,证明R的可以写成[tex=13.571x1.286]FdxCiofITYLhsQdt+/CoBDYS2zeA+bF4cgB0+szT05T7KxtXV2gl3+/WQ2ruUgup[/tex]形式的所有变换构成一个群（成为变换群），它是否为阿贝尔群？

答案：

令[tex=17.286x1.357]BYmf5LpvMDKghhIdKZANYfFVVKFfreh6B/qQB01xdoFbYOs78UO+7Ec8oB8P5uqMVLDBZdmS70hdbhvJ+62Mq6sADmwWFxgtgQmIjdavyb8=[/tex]（1）对任意[tex=10.286x1.357]JaRYvUDP7EsOijkiLvWVx4aCHQLRdRkU4foq8fZ3xpHZLnFZCBJPZU2I1kKPes6M[/tex], 故 [tex=2.786x1.214]iRdwIGy6pgkNVDYx90ZSSg==[/tex], 从而 [tex=3.214x1.214]au+40Qw+r15MH8o0dX8WRj3wHRGDifJdqXswKBsXTP0=[/tex]（2）对任意的[tex=2.929x1.214]aK6HRKWf9ra7/k5aC9JGPQ==[/tex], 则存在[tex=10.214x1.214]qedj7gfxMtY6dI/hB9zePoYCxkw9B66rGhOJy9D42/HtfZt/VX6o2BF26mFtFnhQ[/tex], 使[tex=10.286x1.357]eYK9bANo2z6rieQ4y2E5DsfiL2Et2FMy5wyyv6TTD6Y=[/tex], 于是[tex=7.143x5.643]rMXoCIasvuAexBqv7TPq7h4qB16t0gamLbRj8H5T6GoHTa6/4fFdDMn6rH1E5Nm+OY/H88b4C97wXOuGBYpU2w==[/tex]由于[tex=5.0x1.214]jN4iBEtdEdsokZSj9H9I/DaU/ShmRPpXdPEhyXxAbzA=[/tex]且[tex=2.857x1.214]GlzyxfsfRzVrhZ90upF5zA==[/tex], 故[tex=3.429x1.214]XzDbDfTFP1HpnPWe3DlmudpkstfoIm5417ZwirN00nI=[/tex], 知复合运算[tex=0.5x0.786]ZZdfGN8ROAaru4eGZpmpGQ==[/tex]是G上封闭的二元运算.（3）[tex=0.5x0.786]ZZdfGN8ROAaru4eGZpmpGQ==[/tex]满足结合律（4）[tex=2.571x1.357]QTYZZebcIAk3mT1tOZCWoA==[/tex]的单位元素是 [tex=1.571x1.214]nIjtbg99VVOs4WB9A7TAlg==[/tex]（5）对任意的[tex=2.0x1.214]ggcdcy0hGYxEUzLv7SbY4Q==[/tex]，任意的[tex=2.0x1.071]KGor3YkvnAcL7GdRJvfuNA==[/tex], 有 [tex=5.429x1.357]kpyxiQYUQEZAyOKeFfbv9Q==[/tex]其中 [tex=5.643x1.214]hkLnwO6qr31B8qQ+9QJIUjfQYjMZs81E4H+At74ROww=[/tex], 由于 [tex=6.714x2.429]RhtiEOcJJM9tpzWo++bR1ZJHtnMKcjxuZYlA4rD6qTdbCJ0Mu6Jp30xmc5OMdoGy[/tex]所定义的[tex=2.0x1.214]wq5VtAuajxUr2XeUQfu9Mw==[/tex]具有[tex=8.786x11.0]rMXoCIasvuAexBqv7TPq7toWNFdTVYdcoqKk4600R3pA68rNQt2i71I9KLSkJGCtQ+dwUH9ca4qihUItg1POrmh5h/FN9FofTkJ8LYtteg0pBVq9cIh4b8inGxMwgfAFRZCXTi5mgtwaWatURxNyFuLDu/W2eZsBZejqc3UsCUmHlYnCAHIajtvhru4JN/S7W8F6mR7NiAymy7YFDWpncyd6bM4YQ5bgUOAy4AK/6A4=[/tex]故[tex=6.714x1.214]gMOZWPPKAC+6fOQb8VV6s4ezoxxDGwCx1MU45U3I76g=[/tex], 所以g是f的逆元素.由（1）~（5）知[tex=2.571x1.357]QTYZZebcIAk3mT1tOZCWoA==[/tex]是一个群设[tex=3.643x1.214]MRPlFmNvc85Ha7O7LUnga/aZS4ACqxLF8V3iXN5dtA8=[/tex], 对任意的 [tex=13.571x1.357]hMfGwO4ydipAq6HBWLUr5CAR92fCJ1TMZs+Z9ghX+BmDjCZiMZgxumUnkmYwDTmX[/tex], 则[tex=10.571x5.643]AHjBAUTraNdQ1mZA1xcoJbCLBjbFnVr/FXrGm98LHsGSMqKqZGzQ+h5o10oiQOIDh4VqQjAYCXz+E4jwOshtczN/9A+bNtkHR8XId1CSeuspx2+bJiZXpFTzbOFZn6KDqjMRZ5WzejsiC9ekgNsr1iec9rne42Mz+Dw0FCdyt5g=[/tex]可见[tex=6.643x1.214]AHjBAUTraNdQ1mZA1xcoJUwiUVVXnyipWKDYmlPHbTvCh1poR8WJ8gP0KfVfbli+[/tex], 因此[tex=2.571x1.357]QTYZZebcIAk3mT1tOZCWoA==[/tex] 不是阿贝尔群.

举一反三

内容

0
对于对称群[tex=4.357x1.214]wnRTfTwvyklHr5hx239WTQ==[/tex]，试求：（1）所有子群；（2）所有正规子群；（3）群的中心.
1
构造下式的推理证明：有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。证明设Q（x）：x为有理数；R（x）：x为实数；Z（x）：x为整数；前提：∀x(Q(x)→R(x))，∃x(Q(x)⋀Z(x))；结论：∃x(R(x)⋀Z(x))。（1）∃x(Q(x)⋀Z(x)) P（2）Q(c)⋀Z(c) ES（1）（3）∀x(Q(x)→R(x)) P（4）Q(c)→R(c) US（3）（5）Q(c) T（2）I（6）R(c) T（2）（4）I（7）Z(c) T（2）I（8）R(c)⋀Z(c) T（6）（7）I（9）∃x(R(x)⋀Z(x)) EG（8）以上推理是有效的。 A: 正确 B: 错误
2
证明：[tex=14.643x1.357]R/ZQZXhAgJhbCy0oEU1/y5kV41i2ozWXIKgfgihxjOpdE7tQ6wsS7fv/doTaFjVK[/tex].又问：[tex=0.857x1.0]WgtV0IbZ6MVBV/d0kEelWw==[/tex] 是否为传递群?
3
设[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]是实数集合，令[tex=12.429x1.357]tNnqPzAyNGVmTOV/uGIih4XNS81KK2IoQ3X6y56FVS1IeBE5UUscum+J3i2KGCrfTz3XZFt6FTjkIdSbqQXjxw==[/tex]，定义[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的运算如下：对于任意[tex=6.857x1.357]+V7KSve5p4s+NNyH21afu2Ghx0agIwfa4FN2hrhB8Zs=[/tex]，[tex=11.357x1.357]/4amvLocZ28xI2tygEvUSkZvmUuQKJpmp/vpJoz+bRM=[/tex]，证明[tex=2.357x1.357]Fbi1K3TfmVpdH8Ma+UL5uRqujEYq+75LIjGGdi8v520=[/tex]是非阿贝尔群。
4
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。