举一反三
- 试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是群,[tex=5.286x1.071]VvvX0GFuqWNzrMDUrg0hNQ==[/tex].如果[tex=5.929x1.214]WiIhW06O4h8DrzyJYgOSG//n94M5NRQ5+HQkzzjvS5punSAJ99du6II5VrE1GjPb[/tex],[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是否一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群?
- 设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]在集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上的作用是可迁的, [tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, 则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]作用下的每个轨道有同样多的元.
- 群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非平凡子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]称为[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极小子群, 如果不存在子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]使得[tex=4.786x1.143]Dzl5s9mAcKaJyOhW6nnalZl2sR7LSXZSzGUFcgLlF5E=[/tex]. 试证: 有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]既没有极小子群也没有极大子群.
- 设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.
内容
- 0
如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.
- 1
证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.
- 2
设[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个正规子群,又[tex=5.143x1.143]8k2E7wneVV3EWBTpmogR8vhhPkFysvLe2iZpQaPrGp8=[/tex]. 证明 : [tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]在自然同态[p=align:center][tex=4.214x1.357]m7/wQHWhw1g1/gbLMDukOw==[/tex]之下的象是[tex=2.143x1.357]YIC9md7ZC2+5vFgle7y+0w==[/tex].
- 3
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数,[tex=17.143x1.786]KwsgJFedmeHBiT2ur32zoG99C34xNnYO0RQwum8f8weiaBfrj+HiIJS3LUmCgH5PIUKNDYKzp26hB+HL8rmRU4QnNRBdqTIFwOEPciNMjT0=[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]对于复数的乘法作成群.试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任意真子群都是有限阶的循环群.
- 4
用[tex=2.643x1.357]tBSlM2fLTYNixyNEH9Lflg==[/tex]表示群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的换位子群, 即由所有换位子[tex=10.286x1.5]WRiJ2gGqod7XpVTToXSV1iE6wsqVQJiQGwHQ3vmiTl3JnpCSMFNNd8Hc+SERbNk2[/tex]生成的[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群; 记[tex=18.643x2.214]PhKNI0MJsUPET9HvQo42gtsWkk3jL7Hv5UnHiWAeCJhYv9RQRYVQLD3fDLkFoRHqh0IeDafXr28FEt5ogIK912793H/joGi4rmnvv+lyLdA=[/tex]. 则[tex=1.857x1.286]tP8n+f9e74IcJyaYVD4zng==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, [tex=3.0x1.143]d9zXkTXCrg5bGYaK12YtRIzMYjDX2P1eLkW9U6QilKk=[/tex].