若[tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]为有限生成扩张 ( 不必为代数扩张), [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为完全域, 问[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是否也为完全域?

2022-11-04

若[tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]为有限生成扩张 ( 不必为代数扩张), [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为完全域, 问[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是否也为完全域?

答案：

是. 不妨设[tex=14.0x1.357]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfWv2ez91/y7B73a+dNfJX1O41yY3Xbc3M7P/hS3D7CFV5qmN2npOVxsIFLFjMJDuoRBlte8PGkivrPQax0ZslHw=[/tex]. 对[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]用数学归纳法. 当[tex=1.929x1.0]4/1kK4m052TgsZ3rTR3dow==[/tex]时结论成立. 设[tex=2.5x1.071]gq96plVkkadHyBMc+Lnjtg==[/tex], 则[tex=7.643x1.357]XcP9dRg4PXPx4xnMot5vlj+ibxTYBt1DsmF+dS9Gpgffs65cMqWEVmktq4QWKrMw[/tex]是[tex=7.0x1.357]ifi+cHP2bV5pvGaiLoldecUOfLGDubREeoWJl6rKNInUD02hSpLnqf4DRW+OY9mt[/tex]的单扩域. 由3.6.9(2)知[tex=7.0x1.357]ifi+cHP2bV5pvGaiLoldecUOfLGDubREeoWJl6rKNInUD02hSpLnqf4DRW+OY9mt[/tex]是完全域. 再由归纳假设知[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是完全域.(3.6.9(2): 若[tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]为单扩张 ( 不必为代数扩张 ), [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为完全域, 问[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是否也为完全域?是. 不妨设[tex=5.857x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfaJEHfjSFHBQZgu/+8qEEcg=[/tex]. 设[tex=3.643x1.357]I4quItqUZuSN9OXOz2dWtg==[/tex], 因为[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]完全, [tex=2.714x1.0]uZbcPMTxeGZHNkknEgavFw==[/tex], 故[tex=6.429x1.357]ig8rUV83s2R2+LDKy06LlzaIdDx85drWIIx+caftXRv5GMgYpzPL6qjrDNzQMz4n[/tex]. 因此[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=1.214x1.0]bIQ5llvHm7Y1MJ9YJtzoCQ==[/tex]上代数, 故[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上代数.欲证[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]完全, 只要证[tex=2.643x1.0]cRnH9cnBY8VobuQPUnYLRA==[/tex], 只要证[tex=9.714x1.357]HBPU45bosZL/CDm8q5kQDfmR0wAYMuH+Ur/FnwyUCYO1ypOPCP73EtjCRjRmlNbI[/tex], 或等价地, [tex=10.071x1.357]HBPU45bosZL/CDm8q5kQDXaDfKUBbGhU6EoXqOMn44DzjkTcsX0G+gSM+kwMkETr7peWPiy6M5ZaXKkEIdsDLg==[/tex].由于[tex=3.643x1.357]I4quItqUZuSN9OXOz2dWtg==[/tex]是完全域, 故[tex=2.714x1.0]uZbcPMTxeGZHNkknEgavFw==[/tex]. 注意到[tex=5.143x1.357]tHambxqni9UZJXEHyLXWEn2dBe4HkAj3XLvYZuc0tzGYzvrBPdBT45u+kDWiX+Vv[/tex], 因此只要证[tex=11.143x1.357]j1r5yE7vFyC/GXjGUmTfEvSdpaab9/bsjwSveY56DKA8yzyjUn0zgaA53crs2J/zWN6xCDcmzCDUvrhlv3mmmMcTAVAPl4RIl/77eJ9RE0I=[/tex], 而这是对的. 事实上, 设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的极小多项式为[tex=10.929x1.357]0372YSBiEhw10OTlNYBHoBmkJcBnZGt4L20Jy+esuSjFC1BTAWWt98SUq3cPILNv[/tex], 则[tex=1.071x1.0]jYCilh/IaYVfZGcY2/HVUw==[/tex]是[tex=1.214x1.0]bIQ5llvHm7Y1MJ9YJtzoCQ==[/tex]上的多项式[tex=10.929x1.429]FYb6j3fgWWqq0yz+Wwl6BppHo8whL1VKDt9F7qqyImi5H1Or5fLAtrfGptkPDPxPAHyLD9UF9JEfUmPcJJv+FQ==[/tex]的根.)

举一反三

内容

0
如图，[tex=3.143x1.286]REaUoNxha/GBn3DE8cgfDA==[/tex]是边长为4的正方形，[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]、[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]分别为[tex=1.571x1.286]cHJ4KDAad01mWuGaiQQpfA==[/tex]、[tex=1.571x1.286]hOo99m7YJCAnVf2cQGX8dQ==[/tex]的中点，则阴影部分的面积为[img=163x138]17e6c55620e728c.png[/img] A: 4 B: 5 C: 6 D: 7 E: 8
1
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为[tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]阶有限域，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]整除[tex=3.571x1.357]1Bl0boLIAs4rkF/1q1osRw==[/tex].
2
设[tex=2.071x1.286]/qzeKVECDu6PiZGuAQ9oqg==[/tex]为有限代数扩张. 求证: [tex=2.071x1.286]/qzeKVECDu6PiZGuAQ9oqg==[/tex]为正规扩张[tex=1.786x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRx6lmL1qWQSFYJdzWDEnRVxs=[/tex]对于[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中任意不可约多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex], [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=1.929x1.357]WPzFaKL8Q4nkKYSasSYbGQ==[/tex]中的所有不可约因子均有相同的次数.
3
设[tex=6.429x1.357]M6gWt566oOJ3SW2QjY/DF3uRiy1W7N0hJQquzhkb7F0=[/tex], [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为[tex=2.357x1.143]S+IT4HHTaRyh3BoxjagfjA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的分裂域. 求证: [tex=2.786x1.357]wXAxDHFydW79vmj3F7d+tA==[/tex]是满足[tex=4.571x1.571]pLeVsOJZczQUBqq4rhTtuo5qz9P5SifYu5KWcjGC2JQ=[/tex]的最小正整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex].
4
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是特征不为[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]的域, 求证[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的每个二次扩张均有形式[tex=5.714x1.286]K4BgGPo2L6RCHzRq5yrFN26NltWQJYGfatnQFzxSeiI=[/tex]. 如果[tex=4.0x1.0]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfVRzC08ES6gIfuLMAG7Vwc4=[/tex], 结论是否成立?