证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而任一度量空间的完备子空间必是闭子集.
(1) 设 [tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] 是完备度量空间, [tex=2.643x1.071]FaBPJBLlsUfA8x9Ta7zGBQ==[/tex]是闭的. 要证 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是一个完备的子空间. 证 [tex=15.571x5.643]7PkmLUePw0iMAqEdktaGszrtiak+GT54zIhyJ1zADLO5pLDXBJ/qfSj9QDrgR++ldtp3B/naO1t9lxv02BWoefW7Y/GPtcqOiq7QTBZw1SQWPDHhINmGVqPhhvo5AJE/IycNHFoOy+MC89RZmA62YJ/kbm4ZjlCfdjz+Rgd40h1BYWKHU+iXnd7/j6vKe52zme+sEAexSDQmtCTCep0vzAVmhZSqM6XdBjnj162sjBExGoQ/lLQLkvfys6bPpx6YwLrp8b+eoV6UCriHX0ezzYoA9kTffMDaKOyZiJ9XGtSsX+mId8ELOoDDCGLdrVtZ[/tex],[tex=2.786x1.0]TEi2dmNx3Ftb2FPY0tsOtErN566ioBjUGvSfH0Qkq48=[/tex] 是完备度量空间, [tex=5.143x1.071]GKWGE4w02IUpfK9VzPe+TPWreRcHRZrQ9RqhZUoJ4UJQXrzOsff6LnFPeO9Bnk12[/tex], 使得 [tex=3.143x1.0]X33NNzW2BaPiW4HbaaqFUfD7N/I8lGlBywD9+xhpsqU=[/tex].[tex=12.143x2.929]cfSEGTQb8e5UwCh37mUOtv+McGDiW2HKkAjuQKNUt11RCPGiJGiDQVqRTvICk2YGIX+L8huNsACQGT7N2KFWJQVbsxGa/yKcpNYTSgFbVgrksOnqsoh8o+HJoBqwXbm22hlG3rHvpanuraDAnOteHQ==[/tex][tex=19.143x1.357]yIaGNI9SsFRAuxXmNwu4DmfOi0aKMYDPldHNBliwfRbaz8no9V+WlvD/aMslyQm2I5W73e1gw7uYg/UmkllqqYIX8qp9D0BZN0pkCbzN/MgcvD+hUF2Kpok4+qKDWXKiw1+Yb7MPpl6IrQD/ST41og==[/tex][tex=4.357x1.071]XLQtvUYf53RyIu17dwHXuYvef4DReMp5s6i7i2PIkbo=[/tex], 使得[tex=3.143x1.0]X33NNzW2BaPiW4HbaaqFUfD7N/I8lGlBywD9+xhpsqU=[/tex][tex=2.286x1.0]l6ja1G42ucrjl8i6H9UJAA==[/tex]是一个完备的子空间.(2) 设 [tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] 是一度量空间, [tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] 的一个完备子空间.要证[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是闭子集. 即，若 [tex=6.786x1.214]SVWjPsSM5aBMNkB/e9KaaLTxd39Tpoj/X4L9lGguf3MckcBq9r8o6YFvxr3gD5vH[/tex]. 要证 [tex=2.786x1.071]4h4wzD8hiAQm94oxMaQFTw==[/tex] .证 因为收敛列是基本列， 所以[tex=17.929x1.357]p7RlGtApFUr5V8PUrEZFx73fs9xJ9Mk6lp45Mg57LTbSI/sgHMjrP1DVIQoxcQiJIZvR+bRx/zz7a9OFtFc4G7FCzzYql9zPBUQYxmaL9ymKgLV0nxNLLSEiy9C8UVwz[/tex], 又[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是完备度量空间, 所以 [tex=3.571x1.214]m25acG2dhs8QuVf/0a6cXy1kasODjZpQxB3SkttrPWA=[/tex], 使得 [tex=3.357x1.357]X33NNzW2BaPiW4HbaaqFUdwf8b2K7esxBdhunteXzog=[/tex].[tex=11.0x2.786]GJYfMKjLkofbp2hHpywV2YY7fWRE0+/LJCg9rkvwggkr03tnZ7ZkGFzTHI2zazynY0b+TrvjaYIbAN0go1rinew7352/qCfpC0u+KydG5qzI4iElbClI+RLBWEhWsv+dBWjZx95v26uRU7fh4uou5DnZhPXVzBFDMb95V/7L8cA=[/tex]
举一反三
- 证明:赋范线性空间中的任何完备子空间是闭子空间.
- 赋范空间的真子空间一定不是（ ）. A: 开子空间 B: 闭子空间 C: 完备子空间 D: 紧子空间
- 赋范空间的真子空间一定不是（ ）. A: 开子空间 B: 闭子空间 C: 完备子空间 D: 紧子空间
- 泛函分析有关有界函数空间是完备度量空间的证明
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是一个拓扑空间。令[tex=1.571x1.0]pSJRUUyGdHeZfbH2OIQ4jA==[/tex][tex=17.214x1.286]EMPu/jQOR63y/UGIL4Eus1cCD4BE7mRzAcIZc0/6Bkgi5KRSExtih5FjmSTS7S0UaPL8EzpFxpMPi9cH6p+bme/UaNCXiJKRVKrAWAoow17GdvuNxusURIlfpx8NXpR8[/tex]，证明：[tex=1.143x1.0]5EeoPXNdbULZC7oxMFoDnh4YQNDKibeVT7J/blr9eWU=[/tex]是映射空间[tex=1.5x1.214]2ehRchlDYs26d8ddGhvLtg==[/tex](一致收敛度量)的一个闭子集(因此它作为[tex=1.5x1.214]Hjr8AUNNliPKCjl/j3lBjlBp1kC+j5DoF+hKWU4tsf0=[/tex]的度量子空间是完备的)。
内容
- 0
证明 [tex=1.0x1.214]Nf+AvRVuioCnXbv821PN7w==[/tex] 中空间 [tex=3.214x1.357]yNeGbHa0+mfFC6meDbyolg==[/tex] 以及离散未间都是完备的度量空间.
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紧致空间的闭子集是紧致子集（）。
- 2
证明：一个拓扑空间的任何一个既开又闭的连通子集必定是这个拓扑空间的一个连通分支。
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完备的距离空间一定是列紧空间 A: 正确 B: 错误
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中国大学MOOC: 赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.