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  • 2022-06-04
    证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 除 一 个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界。
    • 证明 设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 有一个不连续点[tex=4.0x1.286]kszBZIzwTbTTRXKUDMUy7G9cWwFAuHXo7pTvrUBpds8=[/tex]， 即极限[tex=4.143x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t44+XEkUcOV8P+MIAgWK5y5iznEpvKFCrAZAobMdVPcj[/tex]与[tex=4.143x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/tzliJJOTn562/3LxFq1hmjmiCQ1h9xse4rEuU8HhV2rs[/tex]存在，设[tex=6.214x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t7UFPBWRUNwCYcKNQjcMCqe4POXvSCozIKYoOK9aSvH8[/tex]与[tex=6.286x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t6XEuEr5p5g+GQgGeg0IP0srJl+/E4Zgf86wBJ+7YqRD[/tex]， 即[tex=10.857x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t7UFPBWRUNwCYcKNQjcMCqdMIbdvWGS09WtnPkIh+w+pyMcBcd4YMmSt5hk/Xiylq0oOfKFzf/FmhxSGtosWF2Y=[/tex]，[tex=3.214x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vCQOx5nFpt057JvkVyPZ8WQ=[/tex]， [tex=8.071x1.286]MXVGOfAvX7l3VeKKhYgaZBWtrrjgc8JGgqPrR9GiDGJqF5tIkH3GPmob69JzTuH4[/tex] 时 ，[tex=6.071x1.286]5+7jgt9AEyd/wxVyyp4TvQ==[/tex] ; 即当[tex=6.0x1.286]T/mTukQQRbsdl1Fy6L/aQZJeYVRAvC6vLbFybywf1RY=[/tex] 时，有[tex=6.643x1.286]0rctPlxFmIyP8HjAXK9AaZm75sdNZE5W/DWKIsOWsLU=[/tex]；[tex=11.0x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t6XEuEr5p5g+GQgGeg0IP0sexc95Odqdn+y5iA6N4v1838euGu2xoEXwYKKqIXls+BJckFEpTAXzRnJVqyhEgJw=[/tex]， [tex=3.214x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vOCdocY4DPTQUFaE7Rr0Ua8=[/tex]，  [tex=8.143x1.286]MXVGOfAvX7l3VeKKhYgaZFoUUioqfJfISf0cy1zA75TszabFoa+9XPkU34a0NamM[/tex]时，[tex=6.143x1.286]ANxDO1oLwoKNE8iuZ+Fc4Q==[/tex] ； 即当[tex=6.071x1.286]7F44tPx2IPL1UXc0GDmArx1ExD+BLhm9hwOrP0SLAkA=[/tex]时，有[tex=6.714x1.286]Krl9rqdJuBwCtrCVe3kHvp8EdT2SJ8nusfcbTkun/9Y=[/tex] ;而函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=4.5x1.286]wpCRAmhwKQ6aocU+Bk1XvHlFNDEEwyn9SfPdyQxGeAu10LElCUVTgktqp7t0Kq5+[/tex] 与[tex=4.357x1.286]UjUQVOmcd2B4JCCZqCbl2hHrx18PKnXfIEIvSWh06rR5bCawLRZL+GAn0bMug2iY[/tex]连续，因此由闭区间上连续函数的有界性，[tex=3.714x1.286]hRtm1ZSiTSnQJf1USuNsV001aL0gY2rXDy7uiAQdpiw=[/tex]，[tex=13.714x1.286]JRb8+CQRDCs2N9MwHhyjL1qowzBa1D/qK+CE6BfW7BNyYxRWeSXZzW0QZhXOWZ9HfEULDX797bk5x2z1bqJ8N9bopL4SYIYZGnzZFtIOvGTTdKp67ILl/l7+VYk+Ors/[/tex]， 有[tex=5.071x1.286]/cgMtOhXOStxTDbIxNMGJBdH/tHlLbtIoIGJGKwnPzY=[/tex];取 [tex=17.786x1.286]B5d40a4g+TrL4D6N+Cf2Oh+EK2+cawDKKE789EZHh7J1Fdt97LBbxp4SQCyPaU/CfFKw8N+PSGuKe/EzSYgxSw==[/tex]，[tex=6.214x1.286]JRb8+CQRDCs2N9MwHhyjL9ALPtQ8/bEln7MeyYx1/x4=[/tex]有，[tex=4.786x1.286]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtlyQgd1orrvEJeM5djsscmw=[/tex]。假设有 [tex=2.857x1.286]+j9sbLyv4m6BG7lWYoZZvA==[/tex]( 有限数)个第一类不连续点，可将[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]分成[tex=2.286x1.286]pTa8nuFTP5HuDpOSco+Vtg==[/tex]个闭区间，每个区间上有一个不连续点，由刚才的结论知， 函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在每个小区间上都有界，于是函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界
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    举一反三

    内容

    • 0

      证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]， 则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。

    • 1

      应用一致连续定义证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]与[tex=2.286x1.286]VF4kZrJI2Vr32V8e+QjbaQ==[/tex]一致连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]一致连续。

    • 2

      证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，则[tex=10.714x1.286]W/XrFzJTcqqLwDu982YtKoFjuWvOa1cyPn8xCcLcXey56DFItHGZqCzIK6HRZrrb[/tex]与[tex=10.5x1.286]QTDUTWEtyd7ak9ifLlqO7dAPP/k6ZQrQNNwMpCiNhW2HLeTI/DZfre+GNetAQbA+[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都可积 。

    • 3

      设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上[tex=6.357x1.286]19AecwdwvNVfdOsyz6J9QmTj611rSMSdFKe4LOSvW8s=[/tex]， 证明[tex=2.071x2.214]MsdfYKWS1JwEmW1/gUhxyRYVxQUbs1s9yPmIw//E4gQ=[/tex]在[tex=2.429x1.286]ujmU+pDh4daDjQKnDYPPYQ==[/tex]上也可积。

    • 4

      证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex]与 [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都连续（提示 ：[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfo9itw6nyR2Ckwecj7tiniXYoKfF17Y2geRgUijeJu4r[/tex]与  [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfvG3PZKFAjt1l/gZaejV46TnOBiN33vHENDkeZi5LZNr[/tex]， 也可用连续定义证明)。