设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]Az4ohoomfEMh5o8uh4mLdA==[/tex]上连续，在开区间[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内可导，且[tex=4.286x1.357]xMZp6XSAmZz4c6FFbzWNqg==[/tex]，证明：[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]cXT0lwxXaA5/A8r4U+6hNw==[/tex]，使[tex=3.929x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRytg0pR6nx0+Me2baJJkxft0=[/tex].

2022-06-04

设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]Az4ohoomfEMh5o8uh4mLdA==[/tex]上连续，在开区间[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内可导，且[tex=4.286x1.357]xMZp6XSAmZz4c6FFbzWNqg==[/tex]，证明：[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]cXT0lwxXaA5/A8r4U+6hNw==[/tex]，使[tex=3.929x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRytg0pR6nx0+Me2baJJkxft0=[/tex].

答案：

证明 因[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]Az4ohoomfEMh5o8uh4mLdA==[/tex]上不恒为常数，于是存在[tex=3.286x1.357]VxFWbZ8BTD5bADc9z8Y5XJdM38TZnkYoD7KA8ovzpeQ=[/tex]，使[tex=7.357x1.357]k5yra6LPePpqh7pp05NFk+6kRvX5WHlZJC0YQqna2WQ=[/tex].当[tex=7.357x1.357]oiUGoC5PrWneWTwntBaEU/GpB5FmLhYUdORBl8gYkBo=[/tex]，在[tex=2.0x1.357]5a80+42Hb8312QztG0aIkQ==[/tex]上对[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]应用拉格朗日中值定理，知[tex=4.214x1.357]cby+fvZDtS39t/AdTCy58DW943VYj9YiaWTShpLHbTQ=[/tex]，使[tex=10.071x2.5]ELLTMA24GtOYWMzJhf50KZmDD3iSzUgSH6zJhlwLlN4TIxqE1X7reL6eYzOP2Bi33nal3qz3HsoKzQaidfiLLA==[/tex]；当[tex=7.357x1.357]HTZNlQJ2AlQQn5g8XO7OuBzGHobbfTij/br9OOgqzTU=[/tex]，在[tex=1.929x1.357]IEy2b4evB8Md6DhQiimD/w==[/tex]上对[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]应用拉格朗日中值定理，知[tex=4.143x1.357]cby+fvZDtS39t/AdTCy58O2YPD2xZRg9DMqrtqKdyDo=[/tex]，使[tex=9.929x2.5]ELLTMA24GtOYWMzJhf50KWbTOXci82t+tOPynoltE+i5BO4XPXRu9EdwnwfNwV5sAawO2gp4wtXERPe+kERxVA==[/tex]故无论哪种情况，都至少存在一点[tex=0.5x1.214]cXT0lwxXaA5/A8r4U+6hNw==[/tex]，使[tex=3.929x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRytg0pR6nx0+Me2baJJkxft0=[/tex].

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举一反三

内容

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设函数[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在有限区间[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内可导，但无界，证明[tex=2.214x1.429]U93ae75fuTDIyESpUsh0ZsDgKDbdXIcbBWW+plOs3hY=[/tex]在[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内也无界.逆命题是否成立？试举例说明.
1
9.设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]和[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]为区间[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]上的增函数，证明第7题中定义的函数[tex=2.071x1.357]Ch2MPHJa7UmcyjPeu+3t8924f+o6wbkwTm3ZOZUb29o=[/tex]和[tex=2.0x1.357]Wnp833ASWh3upFsEQv4YIQ==[/tex]也都是[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]上的增函数。
2
设[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]Az4ohoomfEMh5o8uh4mLdA==[/tex]上有二阶导数，且[tex=5.571x1.357]cRc5wwK9uNQf7jD/CFA6Qy8b+wQ+nVQwOXRNsr8oX1M=[/tex]，又存在[tex=3.286x1.357]VxFWbZ8BTD5bADc9z8Y5XJdM38TZnkYoD7KA8ovzpeQ=[/tex]使[tex=3.571x1.357]mfamdUlkeNsEs1cZVWx/NA==[/tex].证明：在[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.929x1.0]tstbm1OuPyfyNcfVXQkZzA==[/tex]使[tex=4.786x1.429]o1NxfHFvh4pfuP8b7Vf/BGBk5U/OfUvDTtiYiGZF8+j0FRVqvWjPMOuRxhmgew6z[/tex].
3
设函数[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]与[tex=1.857x1.357]onZXu4LK1qWqnNzYw8C+9Q==[/tex]在[tex=2.214x1.357]wIEaXlEuEf8SQpjP/4JuQw==[/tex]内可微，[tex=3.714x1.357]DhPK/180RCH4ilSrWh2+C5cTIAJ117EsGiVLSfX+LNo=[/tex]，且[tex=12.357x3.357]1xLK2S2fjz/DkWdie5OKhcUmfzOSabnbLcG9NV15mLsTPVOJDHQreXlAHZQuZS61kPFwCMXUdC4vSTKtCmJq3x5BIGukFyQXs3o838cvTGyy9WaDRTNuExNE2IjRtXiA7ypopdWvdhjOEbKZiH0uSQ==[/tex].证明：存在常数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，使[tex=8.857x1.357]86MEZndL7guhFjpZIwNGHSKDQj/99kXMGMocmYEUN5c=[/tex].
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设非常数函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]stG05jmmIfTHbIvq7S6Sdg==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内可导，[tex=4.286x1.357]EpQjgSEuzGk8AwZOaXQY7A==[/tex].证明在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使得[tex=3.929x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOiXPSOg7ONsZQpjXR57q+HI=[/tex].