证明: 4 阶群必同构于[tex=1.071x1.214]g5WMcNU3Hc8QxLvJ/c939w==[/tex]或[p=align:center][tex=15.429x1.357]ctVjCN8qwOmSe82Dsc3XUVVMWW+vz46RGF5CcwAG+APFQT6tqmLHF+FTakqpqgdm[/tex].

2022-06-05

证明: 4 阶群必同构于[tex=1.071x1.214]g5WMcNU3Hc8QxLvJ/c939w==[/tex]或[p=align:center][tex=15.429x1.357]ctVjCN8qwOmSe82Dsc3XUVVMWW+vz46RGF5CcwAG+APFQT6tqmLHF+FTakqpqgdm[/tex].

答案：

证明    设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]为一个 4 阶群.(1) 如果 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 有 4 阶元, 则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 为 4 阶循环群, 从而 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 与 [tex=1.071x1.214]g5WMcNU3Hc8QxLvJ/c939w==[/tex]同构.(2) 如果 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 不含有 4 阶元, 则除单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 外, [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的其余三个元素 (不妨设为 [tex=2.0x1.214]VSTxr9GVWaqoe3EVIgk2eA==[/tex])的阶都为2，因此[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是交换群.从而[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]的元素与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]的元素一一对应, 且有完全一致的运算关系.所以 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 同构.

举一反三

内容

0
问:域[tex=1.929x1.357]1Cxt2/pf6QVWE0Ocj0yecw==[/tex]与域[p=align:center][tex=11.429x1.571]5QtxnbZKnFy+XcLPvsvPc15gQWcBi/9OQcVusOtpShcNNTBHmXZaVGTDiB1ShPLr[/tex]是否同构?同构时给出一个同构映射,不同构时证明之.
1
6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。
2
证明，任意一个四阶群或者与[tex=1.071x1.214]7GHH7piDha7IotJbJoRBmg==[/tex]同构，或者与[tex=3.357x1.214]aUDCLoe0V5iRIpB3Yf+/sRoUcPrQwVX5khC3ke0DqNs=[/tex]同构。 [tex=1.071x1.214]7GHH7piDha7IotJbJoRBmg==[/tex]与[tex=3.357x1.214]aUDCLoe0V5iRIpB3Yf+/sRoUcPrQwVX5khC3ke0DqNs=[/tex]是否同构?
3
设[tex=3.286x1.357]RnltMeeeIUCsw+Rboxqe7n0d8Hg3QWaDprX19gBZ6ds=[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环群，[tex=2.643x1.357]vv8p21wHvapOSNJJVekxv4BTBx/VkCtoZpyI8+K+D5g=[/tex]为模[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]剩余类环[tex=1.143x1.214]NV3tuW7fFJHL3T9MiP7g3Q==[/tex]的单位群. 证明：[p=align:center][tex=5.286x1.571]lXZzGFurJ/bbiJxgKdKPiOmit5f0rq1hlLEnOwKSOhkEwmf3I0qtyUlo4Wi0PnVe[/tex]；再由此利用数论结论证明：[p=align:center][tex=3.0x1.214]zOJn+9wqQKuYHsIjnBt0DQV1YRKgf30wm28ZGbMIqgc=[/tex]是循环群[tex=2.643x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRx8IwOvfu1Ky7nox5HNgdkxY=[/tex]为[tex=5.071x1.5]Za+DgknT0MzKPmHYxb9dD48PBouJoEk64QovqABzCgs=[/tex]为奇素数[tex=0.429x1.357]plHcCtdncEdTzaEI1WHBQA==[/tex].
4
设 [tex=9.571x1.571]J9rDo0JU0mK8uFkf5jXgkGj0whRGBkHvZ5fDiJ7jo+P9/KBeA/Vds2rlyYN2je/B[/tex][p=align:center][tex=11.857x2.786]aVYX6/IOZGjYjrxJLwfiaz4NPHBVh8h7mttP6uhPOfHJLrwFvon6MewSAWA0wrqEGT0uR06viCWuQ5D0EZQM7OvimmS6O88aORnngoL5sUrwZjZee55TQdEJeczQVQoj79VCOfDVsDDTenJFc9Ls/A==[/tex]证明 [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 与[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]关于加法运算是同构的。