设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 行和第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 列交点上的元素组成的子式称为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一个主子式. 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对称矩阵或反对称矩阵且秩等于 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必有一个 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 阶主子式不等于零.

2022-06-18

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 行和第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 列交点上的元素组成的子式称为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一个主子式. 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对称矩阵或反对称矩阵且秩等于 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必有一个 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 阶主子式不等于零.

答案：

证法 1  由对称性 (或反对称性), 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 行是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的行向量的极大无关组, 则它的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 列也是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的列向量的极大无关组, 因此可知, 它们交点上的元素组成的 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 阶主了式不等于零. 证法 2  同上假定 [tex=6.286x1.071]2wGpAGjZjM+PiSI8QgctQ1uzLR2dNs49h1L4oqvw8fEfkBhAfErP7N2xk0xJvqf8YEAWuhqghtmoMCL9bvBP3A==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的行向量的极大无关组, 用初等行变换可将这些行向量换到前 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 行, 再用对称的初等列变换可将列向量 [tex=6.071x1.286]YAalcLfaNDgFk899+ltYkZqA00E+UT52Xn6SIpF9yw6O9hy2EmWEx/N6ytQnEE4LT4EmdiAZkm3T/VIfMDx3lg==[/tex] 换到前 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 列, 得到的矩阵记为 [tex=0.786x1.0]9uq8NvjklzVl/yrUHrVKTg==[/tex], [tex=0.786x1.0]9uq8NvjklzVl/yrUHrVKTg==[/tex] 仍是对称矩阵 ( 或反对称矩阵), 且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 第[tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 行和第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 列交叉点上的元素组成的行列式变成变换后矩阵 [tex=0.786x1.0]9uq8NvjklzVl/yrUHrVKTg==[/tex] 的处于左上方的 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 阶主子式 [tex=1.429x1.357]cr8jWLy8E2SRcRNQpiM20A==[/tex] . 现要证明 [tex=3.286x1.357]TYG93F0MqEKe4Sch5oQiyA==[/tex] . [tex=0.786x1.0]9uq8NvjklzVl/yrUHrVKTg==[/tex] 的后 [tex=1.857x1.071]kw/I29OLYXCHVLVrD23+Ig==[/tex] 个行向量 中的每个都是前 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 个行向量的线性组合, 因此可用第三类初等行变换将它们消去. 接 着进行对称的第三类初等列变换, 得到的矩阵记为 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 则 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是对称矩阵 ( 或反对称 矩阵). 由对称性 (反对称性), [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 其有下列形式:[tex=6.786x2.786]ovHWduPws52YVAJ/g1ZkoxaDtXeZgX37kAayEpR65N9SZeVVIN8pBrZYNW7Owd+et5fLv93twUvOXfm6FnjoGlXEx5H7OMDRQedZ4sL8VmE=[/tex]因为 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的秩等于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩, 故 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的秩等于 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex], 从而 [tex=3.286x1.357]TYG93F0MqEKe4Sch5oQiyA==[/tex]

举一反三

内容

0
求证: 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 存在一个 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 阶子式 [tex=1.429x1.357]LyfDtN6+R6bUYlGsfelPgA==[/tex] 不等于零, 而 [tex=1.429x1.357]LyfDtN6+R6bUYlGsfelPgA==[/tex]的所有 [tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex] 阶加边子式全等于零.
1
[tex=0.5x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 以任意一个 [tex=0.5x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维非零列向量为特征向量的充要条件是未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是对角矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是数量矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是单位矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是零矩阵'], 'type': 102}
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称正定矩阵, 证明[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个互相正交的特征向量[tex=6.857x1.5]1OLDM79a1WnqWkErUXr8P604kgpkEAoDOqD5+BNAsbem5zwUCkpRL26F98rz8e/f[/tex]关于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]共轭.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有主子式全大于零, 特别, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全大于零
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的伴随 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 也可对角化且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 可同时对角化.