令[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中一个非零多项式的根.令[tex=10.571x1.357]1da1HneIrbcfGBMEXUjlzwZuqegqk2adgPFETV3TppQou+06Gy7iHJ88MOUK7949[/tex]证明：在[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中存在唯一的最高次项系数是1的多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]，使得[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.714x1.357]dQTS1Q95POqkqYlmyVi5qw==[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]u45nlbNHvvjTvkzJOG/BEdCrl3NqV6kzGAziAmlXqUs=[/tex]

2022-06-19

令[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中一个非零多项式的根.令[tex=10.571x1.357]1da1HneIrbcfGBMEXUjlzwZuqegqk2adgPFETV3TppQou+06Gy7iHJ88MOUK7949[/tex]证明：在[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中存在唯一的最高次项系数是1的多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]，使得[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.714x1.357]dQTS1Q95POqkqYlmyVi5qw==[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]u45nlbNHvvjTvkzJOG/BEdCrl3NqV6kzGAziAmlXqUs=[/tex]

答案：

因[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中一个非零多项式的根,则[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]存在次数大于零的多项式，若令[tex=3.786x1.357]GPlYW2xgvnF/iaPxS2bI6HJSCuosvhBDZhWQA2kohT4=[/tex]，存在[tex=3.071x1.357]TPKLPNAeZvqhgcv1t7Go7w==[/tex]，使得[tex=5.0x1.357]MOkxBv2wBjmxVipt1ggklX1mt+CMiXFsfU0X8cYjSQeohONXnN+UmJFjlGw8TV+u[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]非空. 由最小数原理， 知[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中必有最小数,设为[tex=3.857x1.357]33gIYjKXoL6cIOeL5ClMmg==[/tex]，其对应的多项式若为[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，令[tex=7.643x2.5]N6S0kgr6armmrbrMW25lDDaj0jB2QwnR81Ih4j0b4pDsgYn5H91o+hOLvf3DRJx8pMzqMvqeTM0uGcw86PuYhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的最高次项系数)，则[tex=11.357x1.5]cPEdPseyW0sXLvRZ4v0BT8iL+9uT8RiooK8+lcbv4SOd8JbQA9DsntbOne2EmAfq[/tex].现证当[tex=3.071x1.357]TPKLPNAeZvqhgcv1t7Go7w==[/tex]时，必有[tex=6.286x1.357]6HDtFSc8uEceoN1Pw93cLw==[/tex]，对于任意的[tex=3.071x1.357]KEbKyMgOS2y2BhkolkSGcQ==[/tex]，由[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]的取法知[tex=7.929x1.357]MOkxBv2wBjmxVipt1ggklb9/kBsFO0KD1Wizgx4o/28VY31KWXDYe5w//ADMSxGUo7FcpWwOIMps4ejBSYfSRizmK50qLQOAyvklbQ4oiG0=[/tex].令[tex=8.857x1.357]2D2oSfJv46g/px5Jys9yBCNfkOy0ytKWkgpVOm6SGoA=[/tex]，其中[tex=3.143x1.357]I8xrclkY4Di1s3W8jPkaLQ==[/tex]或[tex=8.5x1.357]zzyKL2ZbAA1dViCaudJDBpgc3q72rr7myjc106xUVHtLOuztHgqG2Yfs9Vc5EUSPTDuXSWbD5VYRccbuLX2Bsw==[/tex].由于[tex=9.571x1.357]mJF9ZG1Ds0/Xd5gU67NkHIpnobugkKArKR4AMRw2Ueo=[/tex]，故[tex=3.071x1.357]8kWdHJnXp/lE4HWIMa7KAA==[/tex]，由[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]的取法知[tex=1.857x1.357]AWAXM5J6sQC9QzjXrKoUjw==[/tex]的次数不可能小于[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]的次数，故只有[tex=3.143x1.357]I8xrclkY4Di1s3W8jPkaLQ==[/tex]，即[tex=6.286x1.357]6HDtFSc8uEceoN1Pw93cLw==[/tex].再证唯一性. 设另有[tex=2.214x1.357]DYPAYDhvAaPsOCIahstE+g==[/tex]具有上述性质,则[tex=4.929x1.357]w0bG3WdKh66JBkptXPSvFCnuyqrU9ygk1LLxibhJVHE=[/tex]且[tex=4.929x1.357]PwFoXtShF0Sx679Gp5C8ELHX0gadU6UyD3qjhDUVy/M=[/tex].所以[tex=5.286x1.357]jJbqAmAxE400oiOP7xuHNUWSSorBqFfzGJOKmuqn/Pc=[/tex]，又都是首项系数为1，故只有[tex=3.143x1.357]I8xrclkY4Di1s3W8jPkaLQ==[/tex]，即[tex=6.286x1.357]2aH50oKNayD8iTA7IUYwBqu2UyS0Qb3EV6uHyixj/A8=[/tex].

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是一个多项式,用[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]表示把[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明：若是[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]的一个最大公因式,并且[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]的最高次项系数是1，那么[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]是一个实系数多项式.
1
多项式 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 称为多项式[tex=4.0x1.357]9L2r5tlh3JJ32yY4a6m3XQ==[/tex] 的一个最小公倍式,如果 [tex=15.5x1.357]nrnjpqK3bEWJW1+UdsCccK/2RTClVVUu6eK6qfdHdBMiik55wS4tM18HYBUyWkeP[/tex] 的任一个公倍式都是 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex]的倍式. 我们以[tex=4.714x1.357]hvdzEuFkEvrNjuF8e4Z/2g==[/tex] 表示首项系数是1的那个最小拱北是，证明如果f(x),g(x)的首项系数都是1那么[tex=10.786x2.714]09luuoNG8w24I0/TapJvEfZP+UD+Xgop92yrc4VsDW2KX9OfSVeP1jQA89LejoWbB2evHWdaONSNvhLVCS5nFg==[/tex]
2
多项式 [tex=2.286x1.357]HxUS4unjMZ7LUMG9lUPU+w==[/tex] 称为多项式 [tex=4.143x1.357]eXe1ElzosSJTSPcMY18ZlQ==[/tex] 的一个最小公倍式如果[tex=9.143x1.357]cil2IbXlh9gsZCGNtLRCp/0BqPotpAyp2T3ja926ikA=[/tex]f(x),[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的任一个公倍式都是 [tex=2.286x1.357]HxUS4unjMZ7LUMG9lUPU+w==[/tex] 的倍式. 我们以[tex=4.714x1.357]7GGdrxemYlH5bfVLWspW8Q==[/tex] 表示首项系数是 1 的那个最小公倍式. 证明:如果[tex=4.143x1.357]eOth96y8H2eVufNYLn30Zw==[/tex]的首项系数都是 1 , 那么[tex=10.786x2.714]R3xncAyezSOplKU206S/LITuwW/WEtT0EDFqILm8o07+0RLPXN7FLOkGXQwPqpER[/tex]
3
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是一个三次首一多项式, 若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 除以 [tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex] 余 1, 除以 [tex=1.857x1.143]2uk2nqa2ose16j8VD9EoJA==[/tex] 余 2, 除以 [tex=1.857x1.143]BwH92UluDZXeGXwryXZA2A==[/tex] 余 3 , 则 [tex=2.643x1.357]yFaPnH15i/KgCyuaiQF2Qw==[/tex][input=type:blank,size:6][/input]
4
令[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]与[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]的多项式，而[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]，[tex=0.571x1.0]1GNMN/euvQoeKc/ZwvRQhg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]中的数，并且[tex=4.857x1.286]VKg59dPfA6nqhEFkHGlVelmjpufgRNtMtSdYPrwUWZg=[/tex]证明：[tex=17.357x1.357]knf/H9twnqP9r3c2T5nHB0UJot5wU0gU8dTeUuP3qpk7MsoNyPD9qqVztGFrD29+[/tex]