令[tex=2.214x1.357]Hm++1ZoLiKyQ3KbBVGtJQg==[/tex]是某个数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上全体次数[tex=1.714x1.071]40EmSXIfMwwTeckzmxdL+A==[/tex]的多项式连同零多项式所组成的向量空间，令[tex=6.714x1.429]5TJX8UFv7zpjoRLvZ3vxJxQ76JQ2KwxJZ22kPKmrhGbnI/7ed5Bm1Ic6GuWto/cJ[/tex]。求出[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]的最小多项式。

2022-06-19

令[tex=2.214x1.357]Hm++1ZoLiKyQ3KbBVGtJQg==[/tex]是某个数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上全体次数[tex=1.714x1.071]40EmSXIfMwwTeckzmxdL+A==[/tex]的多项式连同零多项式所组成的向量空间，令[tex=6.714x1.429]5TJX8UFv7zpjoRLvZ3vxJxQ76JQ2KwxJZ22kPKmrhGbnI/7ed5Bm1Ic6GuWto/cJ[/tex]。求出[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]的最小多项式。

答案：

解 设任意[tex=17.571x1.5]Xc/WXDNZI9rH/wYpm5z4v3et9SzRWjmFyQfa5aQsOcFNXtjD6HtZU6j63pGXS0k6MqDJ6BgXp+nLeE6HtUtsiDPfcptAbGqsSmF/nPR+0dk=[/tex]，其中[tex=2.786x1.214]UUDHQTC7HF+hh0HnzYZXjw==[/tex]。因[tex=5.143x1.571]Bssptojgo4sswhVuYWebCLcT9YTV9D0DZBidbM6bIcU=[/tex]，[tex=10.286x1.571]L2DwtBSEoIuLNB9odj9BrT8FrTxbz/L1YoW06dB35MY=[/tex]，所以[tex=3.214x1.214]2eXb2T4VtyqII/mHEC/mvLvtgAE19J5K/F5nU7Liuk0=[/tex]而[tex=7.357x1.5]Hse1TjyLqGcT9Hm5BGXtc3jMz6iyBbYCCA3k/1q+HH0=[/tex] 。故[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]的最小多项式[tex=4.571x1.5]SRRxUpJrciGKnzWnFhF8ukWPR4Ymn0vhtsONhbHaLzQ=[/tex]。

举一反三

内容

0
域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的次数[tex=3.643x1.357]G/HL1Sgqu9eq+9Iw0Nh2LyI0gPsOjzMUFW3qsk7tdd8=[/tex]中主理想[tex=2.643x1.357]SepfkGWj7dEbuVVTkeNOJg==[/tex] 是素理想当且仅当[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是不可约多项式.
1
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
2
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
3
多项式 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex] 称为多项式[tex=4.0x1.357]9L2r5tlh3JJ32yY4a6m3XQ==[/tex] 的一个最小公倍式,如果 [tex=15.5x1.357]nrnjpqK3bEWJW1+UdsCccK/2RTClVVUu6eK6qfdHdBMiik55wS4tM18HYBUyWkeP[/tex] 的任一个公倍式都是 [tex=2.286x1.357]Ag+wTR6A0dJofzIiroQ/6w==[/tex]的倍式. 我们以[tex=4.714x1.357]hvdzEuFkEvrNjuF8e4Z/2g==[/tex] 表示首项系数是1的那个最小拱北是，证明如果f(x),g(x)的首项系数都是1那么[tex=10.786x2.714]09luuoNG8w24I0/TapJvEfZP+UD+Xgop92yrc4VsDW2KX9OfSVeP1jQA89LejoWbB2evHWdaONSNvhLVCS5nFg==[/tex]
4
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。