经过有限次有理运算可将次数大于零的有理系数多项式分解为不可约多项式的积.

2022-06-19

经过有限次有理运算可将次数大于零的有理系数多项式分解为不可约多项式的积.

答案：

证     因为有理系数多项式为一个有理数与一个本原的整系数多项式的乘积，此有理系数多项式的可约与此本原多项式的分解是一致的.  因此只需讨论本原多项式的分解问题. 设 [tex=4.643x1.357]W98uKQ5WZdIR+GFOUT/8qOlvEj8v7HWfVgIq4JCMOd0=[/tex] 对 [tex=3.571x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/xr2e8/0r1WmEpMrywhPAE4=[/tex] 作归纳证明.[tex=4.786x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/xvKh1RF0VI4+RJ9TjV7lHg=[/tex]，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 不可分解，结论自然成立. 设结论对于次数小于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的多项式成立.设 [tex=4.929x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/8pHj7qHG+nOlkh5UWCzNMg=[/tex]，[tex=3.214x2.214]jDRml5jZqjLvWFgo1AlCDoLw4GPUaESVAo2CXS5BSvc=[/tex] 即 [tex=0.857x2.143]SHy24wQWjYBVVxFBAkTfJA==[/tex] 的整数部分. 任意取定 [tex=1.786x1.143]HIx+QkjT+ddAvuFruRIU1A==[/tex] 个不同的整数 [tex=5.071x1.0]Qlk/r7FwqomMXchzHwl+IdCa0q0TZnQwsvVNCJCJrNI=[/tex]（例如 [tex=3.929x1.214]FqQ6FLsdO1TflY/3pRTv0g==[/tex]），令 [tex=0.857x1.214]dq3PqFnZBXQ/Nnqyr3uZnA==[/tex] 是 [tex=2.214x1.357]lJr5ahRdEI4W7L58QHq160+rv6XfR6BUx7BdU7MywJI=[/tex] 的因数的集合，[tex=0.857x1.214]dq3PqFnZBXQ/Nnqyr3uZnA==[/tex] 是有限集，其中的数可用有理运算得到. 对于 [tex=5.357x1.214]Xurw/jGd2GuzQru1KZy05cfGSoXJFfGl46U64zQYiO/S1a2VxPCjTJzMb9X//x7F[/tex]，由 Lagrange 插值公式，经过有理运算，可求出唯一的次数小于等于 [tex=0.5x0.786]BgHR5DBWke5rTEC5XEckiQ==[/tex] 的多项式 [tex=1.929x1.357]B0ZMf0Hh4rDct8nFcg2lhg==[/tex]，使得 [tex=7.286x1.357]SUtcnKM+T8sygaL+2LcpwTmZFiPfs3797CahzC8eX/eINAPNHAltnk3PnghWmcLRX9KwiKpumtuTGqqkvtd9/g==[/tex] 因而集合 [tex=15.143x1.357]jRziW4Xb9fvm3Mx0bWRp61YGq8kQ55eJ1x9uzaNyOQ7YC+qrVzycvRdM+J/mt3TliJHf7qleRh730JC1y82OnclBsukcy0bPCChAuzTGg8TVnUGYOcQ5BrPnu5i/OSfI08AjylPnXK6c+ZQ5vdSakA==[/tex] 是有限集.如果 [tex=6.429x1.357]+z7W5N1s2/13tJ6MTEAWyF1YM9bnz84u5RxVBb2p4mE=[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的一个分解，不妨设 [tex=7.929x2.214]NovbxKl63Ey/milqTcbe/yynx2+hKJMWTOleRdZ3QNtpS7AnK6UwVmrU8zvL/aHImZRWE+MrPy81buqo0tZ6Hg==[/tex] 于是 [tex=16.643x1.357]u9XF5ua5R1226RYjXF7O+wL2VtNWPcg+AXwwZSDei/ybGWrljiJmvIN5anb63grMrbDoc0WuxSM28He99Bz6G/q9VgD3q8tEy59ZgADO/ZE=[/tex]，即 [tex=7.214x1.357]a+SrOkdBxle6rTAUrjkqyxnZAp72rVcVt+OSHR1GKG1/knRLKakQc/6o6cwASUgj[/tex]，于是 [tex=3.571x1.357]w068RXcg2jUYOOvTGD/hmg==[/tex]因此可得下面两个事实：1) 若 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中任何整系数多项式不能整除 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是不可分解的.2) 若 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中有整系数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 整除 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]，则 [tex=6.429x1.357]+z7W5N1s2/13tJ6MTEAWyF1YM9bnz84u5RxVBb2p4mE=[/tex]，且 [tex=5.429x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/16vgm3fAYdNh8LYnpEzYeY=[/tex]，[tex=5.571x1.357]V1D753We7vezsBlKQyfrUl2yTf3Q9FktAFHrAU/XFlg=[/tex].于是由归纳假设知结论成立.

举一反三

内容

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试给出有理系数多项式[tex=7.929x1.5]W9obI0Qv/ZVbaAzBigYpxINrEMHBH7OJXlcpB2xJsp8=[/tex]在[tex=0.786x1.214]qWTwUSIEBK1EwCOmwQzggg==[/tex]上不可约的充分必要条件。
1
设有理系数多项式 [tex=11.286x1.357]/Qa+vsySExtfTBLkeEoJs+5yKm7Tr2KkdnVuwn2Lr1RImpIJk66jOkjpQ5irdmU+[/tex], 其中 [tex=2.143x1.357]DUDwtYfKfkzOxyD8Wr4KAQ==[/tex] 为互不相同的次数大于 1 的首一不可约有理系数多项式, 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在复数域内未知类型：{'options': ['无重根', '可能有重根', '无实根', '有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个实根'], 'type': 102}
2
证明：一个非零复数[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]，使得[tex=3.786x2.357]hk8Bw3+KTf5OnmZI9wk5ZtaP1jfWLDbtHdDdToooP2M=[/tex]。
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设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是一个惟一分解整环. 证明:可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子.
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判别下面有理系数多项式有无重因式？如果有重因式，请求出一个多项式与它有完全相同的不可约因式（不计重数），且这个多项式没有重因式：[tex=7.143x1.5]MARJTY0fJhnh/OsVlI04MTFcoVJUqzfrWuMO9qGLM7g=[/tex]。