设有函数[tex=6.786x1.357]TgHGpEE8Jhekc7pv8riHnX+W0J0OyKEmp2CPxSyOd/Ob70kKmQZjAlmL5gH0x6LI[/tex][br][/br]式中 [tex=2.0x1.357]izsmZqJWFW6Jwa7OkXzmUg==[/tex] 为狄利克雷函数(参阅 734 题 ),研究此函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的连续性.作出这函数的草图.
举一反三
- 设函数f(x)在[tex=3.286x1.357]64m0xE4nFlaKGIakApV0PA==[/tex]上连续，且有f(0)=0及f'(x)单调增，证明：在[tex=3.5x1.357]vgrW1/jK/GZ1TOWaPFIQWA==[/tex]上函数[tex=5.071x2.429]KmCvFjqAEA9O51+9erVGP+KtDDqVtXZQWqxj1eiTO5k=[/tex]是单调增的。
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, [tex=3.143x1.357]VkAf+7dPgAsudsASsRrclFC+KUW6Xe95OxzRy+Zeu14=[/tex] 但不恒为 0, 证明[tex=6.5x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISenwQD7jqxjrSprUsJirzVY=[/tex].[br][/br]
- 计算下列积分.设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上具有连续的导函数,且 [tex=6.786x1.357]bVOr9KTk7KmJg1gQcn0yAonu0H9EV43rWtPj4TUnnw0=[/tex] 求 [tex=5.0x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGBVGmcOxFcNw5Egd1AHlkd1zTNM75XefnkD4+w5MTWaa[/tex].
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
- 设: (1) 函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]连续,而函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]不连续; (2)当 [tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex]时函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]二者都是不连续的,则此二函数的乘积 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在已知点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 是否必不连续?举出适当的例子.