密度为 [tex=0.571x1.0]wZfDAQ5tsV00QsfoitgWPw==[/tex] 均匀柔软的细弦线在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]端固定,在重力作用下,垂直悬挂,横向拉它一下,使之做微小的横振动.试导出振动方程.

2022-06-19

密度为 [tex=0.571x1.0]wZfDAQ5tsV00QsfoitgWPw==[/tex] 均匀柔软的细弦线在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]端固定,在重力作用下,垂直悬挂,横向拉它一下,使之做微小的横振动.试导出振动方程.

答案：

解 : 设弦长为  [tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex] , 建立如下坐标系[img=887x433]1790360f3fc3806.png[/img]用 [tex=2.786x1.357]+U7nmL0dLo7Jd51bkG6law==[/tex]表示在弦在时刻 [tex=1.429x1.143]a2EqjLx/XSI51TmUW83Iyg==[/tex]处的横向位移,从弦上取位于 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 到 [tex=2.5x1.143]yvy3Qp2P57sPxoStkFylcw==[/tex] 之间的线元,分析其上的作用力.弦的张力方向总是弦的切线方向,又弦作微小振动,认为弦不伸长且[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 与时间无关.纵向受到的力[tex=16.429x1.357]eSvZd7v+C3gawUeTXZf+7uz/IrjVC1MFEgFU9GiXn+u/TdtVouIQfn1F1vNnxGUGX0yCUqVUGSixVED6nPgmSA==[/tex]    (1)横向受到的力[tex=15.571x1.357]iKhlTJv5BKcJ/R5tO5lYw1SlbCBZywzsEoaFwKM2kWG5/HTJcWoDDoEFoRja18r4o0iTl2NmtQikloIDgzIvMuya6u0LXg+MlGmR2flXVbw=[/tex]       (2)对于(1)式,由于是微小振动,有 [tex=9.214x1.214]tM1oBrBSycffvisCAve3mEIf+LJG6ax8nw0Oa3O2inVgS90bXfdRy/f6t1TVNw2V0Al24Xd/kh/n0CjYMw1NLQ==[/tex]则有[tex=4.571x2.429]E87rzQH59s8CejXy5Fvvsgnt8TUUfurAW/pyrD3gpZI=[/tex]对上式进行积分,并且利用在[tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处的张力为 [tex=4.429x1.357]9C/j7AvxUF24i6HieTZpCP323zWquw1+VwzAjJdp/58=[/tex] 可求得[tex=6.643x1.357]rvAdGX22OE8+Zg5J3XP8OTXDTFnCrlJhysGB+3nyyVs=[/tex]对于(2)式[tex=12.714x1.357]5UEFseXz4nUlES2UgtoQIt1KgvQiBUkDHg7T1c5akiD7H6oaJMQc59nd8kQo7OLesgAZwAvf9i/9psfByEfas0bCuBVmVDtQdbHniol/dQ0=[/tex][tex=10.786x1.357]xoc5xcdskRJ23AzyTOCh9RUeKuHtijqMM5h1VnwJo1i1YJrQSpQTI4QC7DAxYc5bAK7eyWiSPqKFNIQGGObNUA==[/tex]将上述结果代入(2)式得出[tex=19.357x1.357]8xlcUl1LYkGiryOPugx141QVWeIpEg+YKsGMQgTa3nCXg/7fb5k/EWpvn0iwmR2ZwqDGbdwCGrEzemvYx/4yGg==[/tex]利用微分中值定理可得[tex=6.429x1.357]USWgRmFSNGwoLlOE9RWEV/6oNTYQSc/Z04X5GsLITQ2xam9Q4SeQC3MEUU+r0OFh[/tex]将[tex=2.0x1.357]cYOntOGyQd4sl65091fG5g==[/tex]的表达式代入可得[tex=9.286x1.357]cRa9yZ0lJkP+Rp3gYxG+zzclKBefmF8qdRUM0tpzhaDRjyl2ARhZfhIfLQL3kuMA[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处可导，在什么情况下, [tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex] 在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处也可导?
1
一根均匀弦两端分别在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 及 [tex=2.071x1.0]jA1m6CKNNVX9j/JBOhtCnw==[/tex] 处固定，设初始速度为零，初始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为 [tex=3.857x1.357]yAvWLLgXgIYOSlJSlTP+RJrxdUk9PiuA2CXu1oTMdEI=[/tex] 求弦振动的位移。
2
长为 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex],均匀细杆,[tex=1.857x1.0]UMz+xA7HHUC1YwcNn0Lqvw==[/tex]端固定,另一端沿杆的轴线方向拉长[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 静止后 (在弹性限度内 ) 突然放手，细杆做自由振动。试写出振动方程的定解条件。
3
导出均匀弦在阻尼介质中的微小横振动方程，设弦的单位长度所受的阻力与振动速度成正比（比例常数为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]）.
4
下列函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 当 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 时没有意义,定义 [tex=1.786x1.357]7OQ6MnGIbo1txdlYbmL7wQ==[/tex] 的值,使得 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 连续:[tex=7.143x2.357]UpGhHDMgP87jZNQKkFFBe7cBxqUaoAfa3WuGaulXmAo=[/tex]