证明实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.214]D5D0Y9P5e3bSjuDLBr9HCw==[/tex]是一个可分空间。（这也是一个不满足第二可数性公理的可分空间的例子。）
举一反三
- 对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]，证明：[tex=1.0x1.214]eFHuwgrq23KLloaWb3OmTg==[/tex]不满足第二可数性公理。
- 证明：对于实数下限拓扑空间[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]，有（1）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]满足第一可数性公理；（2）[tex=1.0x1.286]7T1b02epV01AGcoSwdu4rw==[/tex]不满足第二可数性公理。
- 补足定理1、2、3中关于第一可数性公理情形的证明。定理1：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]是一个满的连续开映射。如果[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。定理2：满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间。定理3：设[tex=6.071x1.214]6m6IpLK9nxKlloS9uQjB0qJni044ihmKs30/YJo0lk0=[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间，则积空间[tex=8.571x1.214]CkbBcgJrLNIwZHLDinyMQc2rREpGyL63UH9eLssnxMZ41jEsuFjVGRlxIHLZ5+Kx[/tex]沛满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)。
- 证明：每一满足第二可数性公理的正则空间都是完全正现空间。
- 证明：满足第二可数性公理的空间的每一个基都包含着这个空间的一个可数基.。