设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是有限维线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的线性变换, [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的子空间. [tex=1.714x1.0]fXuO2AclCgGL3vHwZt70zQ==[/tex]表示由 [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]中向量的像组成的子空间,证明：[tex=17.214x1.5]uwohNXPFGlkxdzXDSIlN+vObZZZTFZ18+SK3dzn6af985LYG5plTzLaejYhewYXgm+J8bNrtjiG1P26PpM0lmohggsePBGV9dn6uisQsCOjPHFz4+twQi8d48aAmphJ+XkmLpuz36IyWUeJXmaDQnQ==[/tex]

2022-05-28

设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是有限维线性空间[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的线性变换, [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]H4OBEtaFUUM3k47UOjlnFw==[/tex]的子空间. [tex=1.714x1.0]fXuO2AclCgGL3vHwZt70zQ==[/tex]表示由 [tex=1.0x1.0]TtmWXcLbY6Xavx7AB3bPBQ==[/tex]中向量的像组成的子空间,证明：[tex=17.214x1.5]uwohNXPFGlkxdzXDSIlN+vObZZZTFZ18+SK3dzn6af985LYG5plTzLaejYhewYXgm+J8bNrtjiG1P26PpM0lmohggsePBGV9dn6uisQsCOjPHFz4+twQi8d48aAmphJ+XkmLpuz36IyWUeJXmaDQnQ==[/tex]

答案：

证 因为[tex=0.786x1.0]3UKvB+w607mbn/eWBx9vkQ==[/tex]也是[tex=1.0x1.0]Zv9sPpvsstZ46sQBzKVz5Q==[/tex]上的线形变换,故[tex=5.071x1.5]b4F8Vz7oKXX9sdIbTfnrJ6ZerTgHnMsHZQCti/8nxh4=[/tex]是[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]的子空间.设[tex=5.071x1.5]b4F8Vz7oKXX9sdIbTfnrJ6ZerTgHnMsHZQCti/8nxh4=[/tex]的维数为r , [tex=1.0x1.0]Zv9sPpvsstZ46sQBzKVz5Q==[/tex]的维数为[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]，[br][/br]今在[tex=5.071x1.5]b4F8Vz7oKXX9sdIbTfnrJ6ZerTgHnMsHZQCti/8nxh4=[/tex]中取一组基[tex=4.929x1.0]A4jSygN0882R6SV3eve5dyhKA/5f6aU7CkpCJuZGXtkg4WNwjHWGgB/peN4cSyTDKat/J+c5XazxtwdXkETY+Di5XokaRvWIDbR+pLcvF3A=[/tex]把它扩充成[tex=1.0x1.0]Zv9sPpvsstZ46sQBzKVz5Q==[/tex]的一组基[tex=9.5x1.0]A4jSygN0882R6SV3eve5dyhKA/5f6aU7CkpCJuZGXtkg4WNwjHWGgB/peN4cSyTDgkx5hzwJl7Bq4nG+xvZnxoVZPqPvhRApsKbGKHCZwOLrCHIg+8hcy/9ZIYv27ABmT60ismY9ZMlpNltkqkXr3w==[/tex]则 [tex=25.5x1.357]ZdnwQJRJdi+fug3IY0m8EgXD2GqkDurXk8rnfVuVgCtpNWx3siAvmq4hcF+/URkUE7f4F9qJsjvmFh7r0+U+vwh014yR2o+6hf59VraHRYDcnXP4TApCCCGLsHSkbF/gfalOFCCOFOIlL6xfmruZ4SWi8a+VfBmIDoubeNr99ov98meKfM1ytxstCNRO28Akj3pKQN+TLRnqJo0s6XEOf8YHr8Njd1PYuyBB/eUaYg1gSVzn9k/PHoqsAEi1X0WY[/tex]且[tex=5.929x1.214]f1ogsfxRsZ8Shd1N89Wfkz2qChuYAXMKFbnPCxeR9CuhE978CjdH47Sj1eH+rJiZGQOBjUJB03piluB3ULFMCA==[/tex]线性无关.所以[tex=17.214x1.571]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvRYWwDRTKwEcRfQfUYgBELeKb9r8qZ7Mya8p3gRQ0SOrKSukllSaO+dxAi9Ee6OriMBknbGNxLYFfJ44DP52ATYns3hdhTpGk85wediRu23L[/tex]

举一反三

内容

0
设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。
1
设[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维线性空间，证明：由[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的全体线性变换组成的线性空间是[tex=1.0x1.214]Z5GZ0zNulrjGJKMFBGia4w==[/tex] 维的
2
令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的，如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明，[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex]，证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。
3
设 [tex=0.714x1.0]DFsH+JikwCTTlf0uyREzcg==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 的线性映射. 证明: [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 在 [tex=0.714x1.0]DFsH+JikwCTTlf0uyREzcg==[/tex] 下的象是 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 的子空间.
4
设[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的有限维线性空间，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的一个线性变换，[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，用[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]表示[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]在[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]下的原象集，证明：[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，且[tex=15.571x1.571]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvVvBGnLtY5JG8CbyUBVipe1uKDCQ1/KMuX64J9SLCi3ar2m76lz6zTaMR/0PayL319rvQLU4zhEdMizyHv9JVIUABc0jzkHxvW8wRmhsuQQnu66lpQQHQ5Y6rNUSTKc/IJw3GVC2rz/DOYqBVzfdYTs77YU3Muuc0/toyWs+9rVf2Yiw28jepiPWOuG3qlOl0Q==[/tex]。