设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]分别是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的两个子群，试证[tex=2.643x1.0]lrQpQJjhcqz2IrqWzoz5oQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群当且仅当[tex=2.857x1.143]dn1vHZFzrDKY4vcBX/vnYQ==[/tex]或[tex=2.857x1.143]YsnD+QYv2kSLoW/sGeLXRA==[/tex].利用这个事实证明群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]不能表示成两个真子群的并.

2022-05-31

设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]分别是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的两个子群，试证[tex=2.643x1.0]lrQpQJjhcqz2IrqWzoz5oQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群当且仅当[tex=2.857x1.143]dn1vHZFzrDKY4vcBX/vnYQ==[/tex]或[tex=2.857x1.143]YsnD+QYv2kSLoW/sGeLXRA==[/tex].利用这个事实证明群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]不能表示成两个真子群的并.

答案：

充分性显然，只证必要性.若[tex=6.143x1.5]gagEHJ9glUuqDwVpqd+2CQ2WFti0+VBVOvcOVdI/z4M=[/tex]，则存在[tex=10.929x1.286]i1w901cT4VSw/IhhhpBb/lWUpV7CjHzX7hPg8eeaile+nP1MQMFBVc8QGmyLst3D[/tex].从而[tex=4.714x1.286]4ggobkqHGyWYRys6xZVo2Qrpp2f0QSm+FwE8hGqt2KI=[/tex]，这与[tex=2.643x1.0]lrQpQJjhcqz2IrqWzoz5oQ==[/tex]是子群不合.由此可知群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]不能是其两个真子群之并（否则[tex=5.071x1.214]H1KfMz5tw8dr41UMK0VNFg==[/tex]，则由上述结论知[tex=2.786x1.214]OrOPST2XRqGuO3OfBjKuSw==[/tex]或[tex=2.786x1.214]fnb3BnLije3B4g4oDoXKYw==[/tex]）.

举一反三

内容

0
用[tex=2.643x1.357]tBSlM2fLTYNixyNEH9Lflg==[/tex]表示群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的换位子群, 即由所有换位子[tex=10.286x1.5]WRiJ2gGqod7XpVTToXSV1iE6wsqVQJiQGwHQ3vmiTl3JnpCSMFNNd8Hc+SERbNk2[/tex]生成的[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群; 记[tex=18.643x2.214]PhKNI0MJsUPET9HvQo42gtsWkk3jL7Hv5UnHiWAeCJhYv9RQRYVQLD3fDLkFoRHqh0IeDafXr28FEt5ogIK912793H/joGi4rmnvv+lyLdA=[/tex]. 则[tex=1.857x1.286]tP8n+f9e74IcJyaYVD4zng==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, [tex=3.0x1.143]d9zXkTXCrg5bGYaK12YtRIzMYjDX2P1eLkW9U6QilKk=[/tex].
1
试证有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex].结论对无限群是否成立?
2
设[tex=2.0x1.214]h5BeVqT5Z1GL62PdxuPBZQ==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的两个子群。证明: 当且仅当 [tex=3.071x1.071]3xgDjzfwjLudPzqGGkG7+w==[/tex] 或 [tex=3.071x1.071]5t6JH772shJGUim0IYHIDQ==[/tex]时，[tex=2.857x1.0]urJhYYDTzgVgGHegtUiqcg==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。利用此结论证明: 群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 不能被它的两个真子群所覆盖。[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 能被它的三个真子群所覆盖吗?
3
设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是包含在群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的中心内的一个子群. 证明 : 当[tex=2.143x1.357]AgjHffxzQb9fKjeZTf8lUg==[/tex]是循环群时,[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是交换群.
4
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex] 为群, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中的 2 阶元,证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]可交换的元素构成[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群.