设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?

2022-06-01

设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?

答案：

可以. 令[tex=4.0x1.286]2RgjPhFzhtJlI+zc4J4m4K4S/X3tbRo/O2iJPEVk5UM=[/tex], 按分量定义其加法, 并定义乘法如下:[tex=17.0x1.5]gDNaQ78196cjM5QIea9arKsIS0eU16vWm+1ysIFn73rRLWfBAzT/uAML9/dsPa2LNrvs4OxEwJCrevwXS4hzo5RzhylIvyz68GmPfYiSkpLUiG4RaTs2f1x1EK5MGfmmgrmFuNdGe8Xya50sj83CgO33xy8C2/OEw3oBeeDgcyuVernjrtP8Brb2UuR88omX[/tex].由于[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 这个乘法的定义是合理的. 则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]对于上述加法和乘法作成 有单位元的环, 其单位元为[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex], 并且[tex=4.714x1.357]3q81rVUv0ZNa6ZTz98uIxg==[/tex]就给出了[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]到[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的单同态.根据定义容易看出[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是无零因子环.

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素元当且仅当[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零素理想.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为整环. 若[tex=1.286x1.357]TP6DNPZ0BXz9dGahH6oH3todNWR8QzFOwyHNRRUu2eE=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零极大理想, 则[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为不可约元.
2
在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: 对于每个整数[tex=2.714x1.214]EwvNyh1iW68prwZT3epYRny0jqUZ5CelFhqnx8W4vpY=[/tex][br][/br][tex=19.643x1.571]l8OR0vrP7qKMc+BugzoeL0hw7YGGxb/5Vx5g6TpbnlqrqkYgPpV5qF65dxyxbnPe/rCiT45wQf3RPZ59zQRU9hC11JXFyKo3PSSPeivtnCFjCivd0O5NDRaF563B+jkb7R+zAaj+5qngJFw/xCOzOige8bb7oM+oi3YXX08UKdU=[/tex]
3
在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: 对于任意非负数整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 有 [tex=8.429x1.5]tnjPO4ZrBrIr/aVHWtBYic6kH4EvHUaSYUViidskMmjtTkP4pKqTrgYDVjVNSuLE[/tex][br][/br]
4
例说明，一个无零因子环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的商环形[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]（[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]理想）可能有零因子。