设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.

2022-06-01

设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.

答案：

【证明】由(2) 推出(1).设 [tex=6.5x2.643]KPU6dTNlAq8ZvGE3oXYbaBENl8ZlS9r2/+ruNWqsX8o=[/tex]其中 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有界,设 [tex=8.5x1.357]eh80od7g0NCA24ZPyg2h16QcvFUmkml6Ak+v1F9Dk9DhEIa6sWclGTp4PYHAZULK[/tex]. 对于 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任意两点 [tex=2.286x1.357]XaTTVoXY/80a51KuGOPIdYKNp2owPScK0DyjaaYAXb4=[/tex], 不妨设 [tex=3.143x1.214]tc3bKz03kKfqhqLI2fnUyq6gU77gUcVh8UDVSb/8/BrwWz39v7uZHlWwnSiJPST0[/tex] 有[tex=11.643x1.429]6efEJKyolHVGSBh/smh3NqZ+ejHO3T3tv6+ZaB/udVc6LZN75sVDyDe97uyd3P1cTFJ2zt3Tf6ngh5M2lBQRaDqN2B/MksJqEboAU5Cpn7EOsdm8GYTcV1lfPfqmF1ndVNxfoAwUrbbXVOkAy1hbUHkwGDAVXYxPuYYF01CsshbB1q73Efv/z4hzMb3J/Kf/[/tex]即 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件.由( 1 ) 推出(2). 因[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件,故 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上绝对连续. 所以[tex=10.071x2.643]A79yNy+yHhPKenFPC66Kg+EUk3Vhus5Lq22WJ7uVfG3/LlB9Rwb3fnvQJT4vHakh[/tex]对 [tex=0.571x1.0]1pSYfhNVTFd9I+oAbW8NaQ==[/tex] 的 [tex=4.143x1.357]hAnfCELUw3N8UvRcBAdgkSDKkAyZ4U394w7GrCeuCRE=[/tex], 有[tex=15.786x2.786]X0zlq04wiFtnqd109v+0IjGAYFZbv5uN23iNb/PD66i1u+a0A0FqIimAXcb9K+dazO5MmtXxpEqyUmTlWXQATTvjxY7BOs/fbUXaogTf4qc=[/tex]其中 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 为 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 常数. 所以 [tex=5.214x1.429]x4aKL0aYumg4uXYHmcyfOLMot9o07OPzjFvgKd27gEWGiWKrlE7qKXdqb+XCiEBg[/tex], [tex=1.571x0.786]e5kU0z6j5RCa3ZWHIzfXjQ==[/tex] 于 [tex=2.0x1.357]vsNoSQRR9Lb7PijXAal4iw==[/tex]. 记[tex=11.929x2.429]pDeZUOCnpwXXQ8jZRCOUaiD3a92qeDTjs/aiYSHZl08iL/WiFF25OnUdr1ASmyxePxpSn2KRiFGZHKHXO35Wg50TsYDr6E8rw8i857UCsV4zNsi4GBkIAXqNMLVLKOSXLNOwl5kYcjepCMQ1ZpE4og==[/tex]则可知 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上有界可积函数,且 [tex=10.214x2.643]+v5wLMEHsD/PLhwZBtteCA0hRIBThBByJvsS55Hetm+jlSG3rwuI4yLAGecVDkJQ[/tex].

举一反三

内容

0
证明: 若闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的单调有界函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能取到 [tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex] 和 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 之间的一切值,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数.
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上可积, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=6.5x1.357]UXaRUg7BF9zV7ojhkK/1rwe6GMJy7HOsBoWZi4KGW8U=[/tex]([tex=0.929x0.786]o6X45tpG/qifjWfiPhyOpQ==[/tex] 为常数 ), 证明 [tex=2.143x2.643]9b0SZgsi+TL9knQy95iF8392AEBaIU8lF6yXDNjaOsY=[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积.
2
下列命题中正确的是. 未知类型：{'options': ['若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 中有界, 则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有最大值、最小值,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上无界,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上不连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内连续,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有最大值、最小值.'], 'type': 102}
3
设 [tex=5.857x1.357]gfTyftYv3vx5MA+ZCm0ioTLxy7oVEpeq/Rn9ytEwYJE=[/tex] 证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒不为零，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上恒正(或恒负)。
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]