已知抛物线[tex=6.286x1.429]9dcPJAtlfzCcDKzdNCzuaw==[/tex]，(1)求抛物线在点[tex=4.071x1.357]XAM/5VnsmUgwidvW0kU0Aw==[/tex]处的切线方程和法线方程；(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线[tex=3.143x1.214]7XfGgS90kyUPkYPelfGzGA==[/tex]。

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2022-06-10

已知抛物线[tex=6.286x1.429]9dcPJAtlfzCcDKzdNCzuaw==[/tex]，(1)求抛物线在点[tex=4.071x1.357]XAM/5VnsmUgwidvW0kU0Aw==[/tex]处的切线方程和法线方程；(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线[tex=3.143x1.214]7XfGgS90kyUPkYPelfGzGA==[/tex]。

答案：

分析  点斜式直线方程为[tex=6.643x1.357]QE5YHN3+S1vkiD5d9xl/dy3uBu4Yd3I8g2RaiMcQGH8=[/tex]，点[tex=4.5x1.357]kWx2lMh9Jf6lxOfjJq6gHG+xiOhsMxJvD5/QIUiyMP4=[/tex]处切线的斜率为[tex=5.857x1.357]nFIVpR4jAxHv1bzILBQF+GeGgA1EbWEABVeqiG1Mpahrs5umTFOqH/rrk8HTpxhf[/tex]，点[tex=4.5x1.357]kWx2lMh9Jf6lxOfjJq6gHG+xiOhsMxJvD5/QIUiyMP4=[/tex]处的法线的科率为[tex=5.929x2.357]dwCzfZWX8BblAo8Ct7e38zS/cXMeOFPPtWgM/XCf50b+Y3Ig9lBVhHsNXLlItx4c[/tex]。解  (1)[tex=12.786x1.571]v0Bl9A6ts36vep2Jz53BQTuCDw5wY0QOAVityh6Z/tBjkqujexOsAGNLxEsg/qYTgf8b1TSVFdgAEEyC5sY9XQ==[/tex][tex=7.571x1.357]8wSv31tyRs8foATETBMqGZZ6utve8BHd5Bxby6uQXXA=[/tex]，1法线斜率为[tex=4.571x2.0]NCjrVP5NFBrexaFbWMh2wgV3ji34uDQaSVSd0lprWT4=[/tex]所以切线方程为[tex=6.214x1.357]ld20X8xCTblPfoUEikI5Kw==[/tex]，化简得[tex=4.929x1.214]qalic3yRejAOTBoezayg2w==[/tex]。法线方程为[tex=7.571x2.357]yyvHqql/FRuEGWuZdpwB5cEZXWz29mA8Q+zWIM5az5Y=[/tex]，化简得[tex=5.857x1.214]luC7TigEWGq0XhMn840mbg==[/tex]。(2)设平行于已知直线的切线与抛物线的交点为[tex=2.214x1.286]Cv8pj5T6IBFBezH8urMOfw==[/tex]，则由题设知此切线的斜率为-2。所以令[tex=7.857x1.429]PIiIlcPfEfe+4Nhu7UQvHpZq0p96GdviTJTALpUPXSA=[/tex]，解得[tex=2.643x1.143]Fn6tT2tmxdFDVTS996CpCA==[/tex]，代入抛物线方程，得[tex=1.786x1.214]n7gPGmIx3vcXXhVu3V5sUw==[/tex]。所以在抛物线上点[tex=3.0x1.357]yFos1RhrBKnlh2RSWc23qQ==[/tex]处的切线平行于直线[tex=3.143x1.214]7XfGgS90kyUPkYPelfGzGA==[/tex]。

举一反三

内容

0
曲线[tex=6.286x1.429]QLsCe+mb0sLjQMexhcUIsx6Zo5RbLOUP6q/RlqcD+zk=[/tex]上哪一点的切线与直线[tex=3.643x1.214]CZnUyQuH7uYS8nxdhrtn4w==[/tex]平行，并求曲线在该点的切线和法线方程.
1
问该抛物线上是否有点 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex], 过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行?
2
已知曲线[tex=4.143x1.429]9IzJ2iqHwJzMiI2GqrNSNg==[/tex] ，求[tex=2.286x1.357]OfHxxUhJ2mtIjsaijINmaA==[/tex]点处的切线方程和法线方程;
3
求该抛物线上过点 [tex=3.0x1.357]6PMU+FeOWV/sTYO4DOwD5g==[/tex] 处的法线方程.
4
抛物线[tex=3.571x1.429]FsdbO/anc2tEhhllnrp/TA==[/tex]与直线[tex=3.643x1.214]yXDSWbgQk9xG6JHAY6biNQ==[/tex]相交于[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，[tex=0.786x1.0]EsJDtGYVBcAkNM+hi9jDJg==[/tex]两点，[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]为抛物线上且在直线[tex=3.643x1.214]N8T1ZQBfxAJssmYz9OYAsw==[/tex]上方的任一点，求[tex=3.143x1.214]BypMH6cWAb0x8gikbHmOkm8G6z9CQ+Rgr92Svssi5/0=[/tex]面积的最大值.