设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]

2022-05-27

设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]

答案：

证明 设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间, [tex=5.429x1.0]aM+6LzSAoWyAKCb3ZDQRbf5H4nwboyub1WNB3zP6j90=[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 的 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 基, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中 每个元 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 可唯一地表示为 [tex=5.429x1.0]aM+6LzSAoWyAKCb3ZDQRbf5H4nwboyub1WNB3zP6j90=[/tex] 的 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 线形组合, 即存在 [tex=7.429x1.214]gKyt7CszUu/fnwh4cQZUWzdCoa7GhIyhYlHIlvjWSLL9be0wuVQRHyElj/YQsrpp[/tex] 使得[p=align:center][tex=10.5x1.214]/oIiigPDGqER6ogSbNpJAM9LpwTo8fVfcafeo/0jdwrt+JBhR25Qe3IzuC8TCAEH[/tex] 由于 [tex=3.571x1.571]CWeKGuFlcw3jciokK+7cYos5XqFrUS5QeKdY5FMVOwY=[/tex] 故 [tex=3.0x1.357]lQSIZ/phMDzKEOzMpRSGDA==[/tex] 于是每个 [tex=0.786x1.214]enEQRJyAJ+cuWGjCFP66cQ==[/tex] 有 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]种选择, 从而 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]共有 [tex=1.0x1.214]7dtpq+Nds2yvk4oPHy1FgA==[/tex] 种选择. 所以 [tex=3.0x1.357]/kTNE8dOKsA1/3ndXAtELQ==[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=6.857x1.357]2hHcR8Ytk+ATv/tbtrFhB+bH5kzXbno4izjBP9LXHso=[/tex] 证明: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=3.214x1.357]4/ttbAVEBSveXVKOoceuOQ==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上有相同的分裂域.
1
设[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]是有限域，[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]是[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]中素域，则[tex=3.286x1.071]GqCiqeeqnC8xs45a2MeVIfQRnBRuFbRwaHAvhJ/Il0w=[/tex]，[tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex]在 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]上是代数元。
2
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，证明：在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的一元多项式环[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，有带余除法。
3
设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是特征为 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的域, [tex=7.643x1.357]btud4JFbMuvgYfQLcEnwE5avp8UnpnuLTNhSRnnni64=[/tex] 证明 : [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中不可约或 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中分裂.
4
设[tex=4.857x1.214]wRbY2rsX3hsnG7bWPPLOLdOPUOps7uf9XLNyeCrKtV8=[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可离元. 证明：若[tex=4.857x1.357]3yFPsW2/nDLpcI2p6eAw/NpaPOeugO+V4WWwp6IBo7s=[/tex]，则 [tex=0.929x1.0]NcHr2jMtiiHYOWdCIwFGZg==[/tex]也是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的不可离元.