求证: 域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是有限域当且仅当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的乘法群[tex=1.214x1.071]6fYgj+1cuIkoM1Z53YlA3Q==[/tex]是循环群.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域. 证明：乘群[tex=1.214x1.071]plYiOGqsi2x51lvGPTzTvw==[/tex]为循环群[tex=2.857x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRxzZ3TaC6dhfBvZcqVmvDO2M=[/tex]是有限域.
- 证明 :集合[tex=13.714x3.643]1SRQEQsw2EqIXC3oJ8f1M7rmJ5g5PphJRuOBiV8vox42Hu5SY+O1xru7XzJ70C5aGh9LLYHLTu6387EY6l+a3AP3FhSiN0GUZqyYWN13B7L0DRRwEyVund1aCDMmR/NRrxMHgjFwAirGlbPAaXvWMw==[/tex]，当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为有理数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]还作成域,但当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为实数域时[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]不作成域.
- 证明: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元当且仅当 [tex=0.929x1.214]cCzS/cTqVNRb3hzF7/9UBw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元.
- 设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]
- 假设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是一个四个元素的域. 证明:(1) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征是 2 ;(2) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的不等于 0 和单位元的两个元都满足方程 [tex=3.929x1.357]n/e9mCKNm2GRMd1tVtaOAw==[/tex]