设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]是内积空间，证明 : 由内积诱导的范数满足平行四边形公式

2022-05-27

设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]是内积空间，证明 : 由内积诱导的范数满足平行四边形公式

答案：

 设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]是内积空间,  则内积诱导出的范数为: [tex=3.5x1.214]jQZDEYuCny6QWHqr1pxlVUXMBcW4WJTJBLfCnVzJJyE=[/tex][tex=5.786x1.571]x3XgBB9uM/b9LhWbetTmUjjH74ftCnQJLjzBwo4BS4M3b2iHrnmUM64ZhBWTjf71[/tex]于是[tex=17.714x1.5]GNRmqOklaWRJkIyyT5yxVUMbXPW9uV/Rwr7e00REfCjFjTJjFh5kBTm2mKjiui9IkHl7Akt1ki44Yqnk6jy9XUemWQc5gQphQKe5Cwvg5oI=[/tex][tex=12.286x1.357]nMay/NobCVItHBi2ZvG8uiANOieSSw2pgYAV26JCOhWIpul9MxMzwvxptycOsAhntpmIhPKISJ0J/qjsqiiqYJE3VoLpQ0krgeFtx/v+bkMF5NZ9lWzxmzibDUj6sUQO[/tex][tex=13.214x1.286]y58dtfL6o7g6RrzEHKjhWyOCR0xUk3vOnQliwOvlEAprHo4tLACLn3vFwYd+y3XbRlX7b18AZXZUZcdCtoZTMM2nSdF8OeZw8RArajuGZ2M=[/tex][tex=18.429x1.5]kZlnBgpt0OMyWndGCSyf9Mw+cyQjFOb86xYN4icsXQCKLhSscR+1eleKmqRABEkeandNqOc/TZ4F0mdsmM05Xnee8g/U+loKmmvDzocnxMI=[/tex][tex=15.429x1.357]nMay/NobCVItHBi2ZvG8utDvd+6IK/bSHMbQ40zob0gE+3rCsZXiyDSOZbwPVIIj1dHYr+pLN1Gt8rfNrS/n5cXzNaXWCZ49C53b2oqqnNwI6WMfPvwOtFNQ0NVPVktk[/tex][tex=11.857x1.5]h4O4sfmgKfksnzdwzJj0EqEGRGPM2Um2vWpn8NOSHvCyK6XPZxOdgvxtcmBxyi8ef8AQGZE4+9I3cMYQPD/2dSMjYfds4B/xvQlNAdpf0SQ=[/tex][tex=11.857x1.5]PxzGCKHMI7JE/w/KHdDB1K9c7EBUKDTOVr51aM1f/m+gQwpiaacnFm08mBduA+C7a2qoRUKbkvjEkU8aizr5dQ==[/tex]所以[tex=14.714x1.571]IEmFCVSOK2xtyMcbzx/oyZHFNKSuDg2wTJ4u/JRcWZKgd/MtNQ6IzXfeXoEvXO3SHKqdlGvzyS5likUE+lxRCg==[/tex]即内积诱导出的范数满足平行四边形公式. 

举一反三

内容

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试构造下列内积空间之间的保积同构:[tex=2.929x1.357]JcPYesby9q2r86q8oJPddQ==[/tex] (取 Frobenius 内积 ) 与 [tex=1.571x1.286]xH/gi7rJKtnuM3J2WXmZnQ==[/tex]( 取标准内积 ) ; [tex=2.929x1.357]MYvF0HNzU7v2S97AHhJvGA==[/tex]( 取 Frobenius 内积) 与 [tex=1.571x1.286]7K0p8ZhF3FFODRSSnSMKeA==[/tex] (取标准内积);
1
证明 : 内积空间 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中两个向量 [tex=1.571x1.0]TYvJVTKRr6FnfPb2CtQh4Q==[/tex] 垂直的充要条件是 : 对一切数 [tex=0.929x1.0]RVg7RQh58wVKARmwRHBCvg==[/tex] 成立 [tex=6.143x1.357]KHvlGxZGPR0GWg5QVAGN9KmpVByDxbShSbfVmYxIIsd0uKCMwwnZFzDXt3r2FFLh[/tex]
2
设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]为赋范线性空间，试证明(1)序列弱完备的赋范线性空间必是巴拿赫空间
3
设 [tex=1.786x1.357]KHLfIZxefVPW9ckCG2I71w==[/tex] 是由向量范数 [tex=1.786x1.357]KHLfIZxefVPW9ckCG2I71w==[/tex] 诱导的矩阵范数, 证明: 若 [tex=3.571x1.214]Wpf4qiH41W2R7hUv1LWig5PYvVZOzrY/VYqCKzOCGXU=[/tex] 非奇异, 则[tex=9.357x2.357]kUZDkLyRuPSc16BIiJ9LErteNtvQMhsYRqLiqz4W2Bm0cA2vcKuvkIga9SeWoTZ89fC0F253VxRghVBjj/7gEg==[/tex]
4
设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]是可分的距离空间，[tex=4.929x1.357]Bj1kYwsdkHsxET3h8ROT+6ALhjmVDYoOJV3WFzoWXio=[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]的一个覆盖，则从[tex=2.286x1.357]5DK9OTghIFVP0mJT+ixzYA==[/tex]中可取出可列个集组成[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]的一个覆盖