设,[G,*]是14阶可交换群, 证明: ⑴[G,*]中必有7阶元素。 ⑵如果a是2阶元素,b是7阶元素, 则a*b是14阶元素。 ⑶[G,*]是循环群。
⑴由拉格朗日定理的推论可知,14阶群[G,*]中非幺元的阶数只可能是2,7和14。 先 证明14阶群[G,*]的非幺元不可能有2阶元素。用反证法,如果[G,*]中的每一个非幺元都是2阶元素,于是在[G,*]中任取两个不同的非幺元a和b,令A=íe, a, b, a*bý,容易验证*对于A是封闭的。[A,*]是[G,*]的4阶子群。但[G,*]是14阶群,不可能有4阶子群,所以14阶群[G,*]中非幺元的阶数不可能是2。即14阶群[G,*]中必有7阶或14阶元素。 如果[G,*]中有7阶元素,本题得证。 如果[G,*]中有14阶元素a, 则令b=a2,易知b为7阶元素。由此证得14阶群中必有7阶元素。 ⑵由于[G,*]是可交换群,所以 (a*b)14=a14*b14=(a2)7*(b7)2=e 再 证明14是满足上述等式的最小正整数。用反证法,设,p是小于14的正整数,且(a*b)p=e; 显然,p应能整除14,所以p应为1或2或7。 如果p=1,于是有a*b=e,这表明a和b是互逆, 则a和b是同阶元素,这和题设,矛盾。 如果p=2, 则(a*b)2=a2*b2=e*b2=b2≠e,这和假设,矛盾。 如果p=7, 则(a*b)7=a7*b7=a*a6*b7=a*(a2)3*b7=a*e*e=a≠e,这也和假设,矛盾。 由此证得a*b是14阶元素。 ⑶由偶数阶群必有2阶元素a(习题7.1第9题)。又由本题⑴的 证明结果可知,[G,*]中必有7阶元素b;再由本题⑵的 证明结果可知,a*b为14阶元素,所以a*b是[G,*]的生成元,[G,*]是循环群。由此证得14阶可交换群必是循环群。
举一反三
内容
- 0
证明：除单位元以外的元素阶都是2的群是可交换群
- 1
证明阶为偶数的有限群中必有奇数个阶为2的元素。
- 2
在群G中,元素a的阶等于其逆元a^{-1}的阶,即|a|=|a^{-1}|.
- 3
若群[G,*]中的二元运算是可交换的，则称群[G,*]为（ ）
- 4
证明：偶数阶群中阶等于 2 的元素的个数一定是奇数.