设 3 阶实对称阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为 6,3,3, 而与 6 对应的特征向量为[tex=4.5x2.071]gNvMj7dMtP4xIuVKjb90PKDdjWJPCXpKTSBlYcK7VEM=[/tex]求[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex] .
解 设[tex=6.429x1.571]sGcVwI6TfXu1ACwVr/TaRtzI5p1wQECxnwxktMFKXqVZabZUYx+NSxRe4poRSJ12[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的属于特征值 3 的特征向量.由于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量正交，故有内积[tex=3.929x1.357]1rwqlE9gqcCR/KBAmCM7UpMhXFjMdt6aZe92nCdEzsg=[/tex]，即[tex=5.643x1.214]w/6r9dqlpOALjyvZu4n/H/bURwZKB1F+mfsA0/+0F3M=[/tex]解此方程组，得基础解系，即属于特征值 3 的线性无关的特征向量[tex=5.286x2.071]+UKwrCRyC5vAHWnkP0Ycxj3wj20vaptIaSeOT6DSTrQ=[/tex]，[tex=5.429x2.071]YDDIuz+f0hEqbEFnS9O0B0h6hRiFSGuMwOdsQPseaXw=[/tex]，令[tex=14.286x3.643]+ziG2wsUDNbJYLDEA0MbCIp9B8YHfMLzPoC0tyf7u22+K0327K1nJsgP1fJ63jJrR+GsSWRlaO4KCdJdaKVXzT3JogOFnsNzBq8hTpHCnXV4Pc9+YqSABSGADcszgsxoLqA1g5UdYJ1vmNO4wo2y4ORL9YmIJBsc7wYh0pLzRm4=[/tex]，则[tex=12.0x3.643]mGBr/s5d+YytFlzKSmkwpSpYLUeF4TDBmPpSXEWFzEFsS3ri8uqfEV+UjUHI+bVa0bNz7eaMPN3Q8drniR6ykLmqAsP2LRbYoOW8kA2oFABBUvaPHOxscHUSBNk/zmId46JhaXoQKS31dagy6/CQ+Q==[/tex]，方法1由[tex=3.786x1.214]A0gaeykivfrV4XDAdYAbHwQeNKC2pWlSjmZRpumfxqY=[/tex]，[tex=3.786x1.214]bvDYVCdHJX3x5xXMq4grG3rCWXmDFLkMSTmYZObKbAg=[/tex]，[tex=3.786x1.214]hLYfwEZOLFyXYuDif+ZJS1ZaFcgRmZnxGVrzhGmjBjE=[/tex]， 得[tex=23.786x3.643]p3wH4o5r967qXFYaP90wBF5bGA133EkD5g3LBYjTxLVs/hkyDSPAN1yPnw+1aOmtcbbBSXZsOU/HbIrSi6XhrGUUOOZoy67RrWtlkONvJuyB6zIKsyXubfg1ZQ/0Ev+lGCU1Pwa/a696L3awCjvD9TJ3ZuhTgHH9W2zn0L8ViCQF72tl+Wvq4txKiFWHFr5Pvbmq+6lysBedjKruY3rEkaMXLcgABmiaSZBHPoqNWvw=[/tex]于是[tex=19.857x3.643]QN0fTQbn6M33pU3gx/S2sl2x1qwvRizMYW30sLklJ/vqTuS2emGq9eqtkMFoRR4/FP4COBIyIUjbxCtRc4+ZfCh4R6JLT/tNVv0B/pMjoEfIvnvI04s80ZNPeV36yxmKvKrBouCTZQPqAjojsSJMe/acizbLuRHDgC9Qr1Uqx/h0sjFeZ5POesVwnBv8OkP9GYhY/2vXw/myxE9Q/VnyiOKxzC0X3rjll6Hs9V0+9GM=[/tex][tex=17.0x3.643]j7eTBTA8MW0pD+PXSKdDpGUQrAbtKAN3Tf7wxg9+6Jcb5NX3FBnl1NaTJaA+tnFSLeGjTRD2A/KXDaSR8V+PheMNP9MKAF1/wg1LPZk+KRKRgs6vMnF8KaR1nCCuS+uqoHP/pSi3oSdG8HIBHgeyU/YUcBuCiDcxiGgfpnVs06Mhf7XIyTMG2gR0z/esP3V/N5he89glOB9+VplTJ73GcWgq1dCjaEtCbGbRFus12ewXbveVH4LLWEvTzrhwudWu[/tex]方法 2 由[tex=9.786x5.929]N3H9s9NEClXDUfWljobtFnprOypeBjgezRcv2P2X8ACdgDR5BEHHlE3P2KBHTn12UDZb/ByyIGfI5Zc1NBRj840ztXshUmRkTtaIiQYvGww=[/tex]，可得[tex=12.5x5.929]nyoiZ5UWqIgKbP5Dkf4x16hjZpvYua5sZcTCnuheXu7lgI1og8f/hGP4u4Pbk6uCDAVuqOAyHhaKLuQJjWrPC5aq9RVRdV3HqHW4/Qgz/IE=[/tex][tex=6.143x3.5]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vBz5coYu/fp/8ptStKCWRHaOcRWaj6U3OfQTwf502b3w2+g1D/mkwxX0G+P5lKuY7jyjRjQYkErb4UsshZC3tgc=[/tex]。方法 3 将[tex=0.857x1.0]VRr+U5tfxsVVXD6yFdYctQ==[/tex]单位化，再将[tex=0.857x1.0]3NAtT0wB3LEENUmHKF1cCg==[/tex]，[tex=0.857x1.0]Miwv1hPX2ml8JdvlvuwgBg==[/tex]正交单位化，得[tex=6.571x2.786]l/YjDoxzQ5gQQAZszdSZzu5gMIgYXW2QSZJ/ybIqCJf7OH6z2TOpyvozg26BshI6[/tex]，[tex=7.357x2.786]8wj8AXp8zwGA8KLej7mFsOIhORzN0Lm7py4H2rxVo/cfrVZ0QO1H8540sqH5VZya[/tex]，[tex=8.143x2.786]z9GC6l7J1e7iPe+lqfAy2Yi8chAmDgqMaGm921rHwruILV/8Ftb0wCHJ9wvbfCDE[/tex]令[tex=5.5x1.357]gIfntwetzm7ZJksnP25cLshD8HQzn5jEY2AHqAvomC5ItmXIZDaIuYiUbqo6UaEI[/tex]，则[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]为正交矩阵，且[tex=13.929x4.786]/QQlO6BOfFtibt6gLcGLlsQZgVA+R1vynLhHhps0dS0UuEvg4p+5UEQ8PFQ1UU9vnnfL68HAtmLLp1ztDE2JI8CekDY443ZE6xjIdZBl+aL0bn0+eJWo5pAsmjxVp1Qt[/tex][tex=8.286x3.5]uCTSv5RgIRBREwxFyPXg8Ujip36lZn5UMbdK+G0u6ooT3BHIbcd56SlJBV9jFsNvKbLNNUA8rkjs78p2nz7F8PTtGZbydWv1pHYgXaqCaUDLbJqQnrjLI+eV+Ptr2LLw[/tex].
举一反三
- 设 3 阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为 2，5，5，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的对应于特征值 2 的特征向量是[tex=4.857x2.071]3wI+QNTkLmRrec03TCM9bFWZpADYRyMPrZBNYCkoBfU=[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的属于 5 的两个线性无关的特征向量可取为[input=type:blank,size:4][/input]。
- 3 阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为 2，5，5，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]属于特征值 2 的特征向量是[tex=4.857x2.071]DhkZQ6U+YNvBth9C/XILFGkxyi4vnUTSy0Nkjx0spUQ=[/tex]， 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]属于特征值 5 的两个线性无关的特征向量可以取为[tex=1.786x1.0]ZzxjEAB2AXFd3xR0QzWMaw==[/tex][input=type:blank,size:4][/input]；[tex=1.786x1.0]G7He5rxqaYihPL+Om+uU4w==[/tex][input=type:blank,size:4][/input]。
- 设 3 阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=3.571x1.357]fnSt53eoHfO8hXcWTcaeoA==[/tex]且[tex=2.714x1.214]+yxb2fEUuHYxLwX2MLViFg==[/tex],求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值.
- 设3阶实对称阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为[tex=2.214x1.214]wCsQsKvm0NsWU01VmgWBOQ==[/tex]，[tex=2.214x1.214]IMsqjeaLTZIrWNwLmqhWWw==[/tex]，[tex=3.0x1.214]5VrAndY+n/EUkdErafXcBw==[/tex]，且[tex=6.214x1.5]3+KwV9eZ5Y3oubec/FRLdTZwrZsexoKDm6ckX5nFtng=[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的属于特征值[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]的一个特征向量，记[tex=7.071x1.357]3KBeCLg3Kz9N1H8fUtc1AfZ8mOfo+w5MBujQqQ7uap8=[/tex]，[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为3阶单位矩阵，验证[tex=1.0x1.0]E4FovvvmKFxHayApGHhrvg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的特征向量，并求[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的全部特征值与特征向量。
- 设 3 阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值是[tex=0.5x1.0]AYXQx0BMtpSPsr4BfOe2YQ==[/tex]，[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]，[tex=0.5x1.0]/BQKP5E8YnupUQ2sDg7w1Q==[/tex]。矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]属于特征值[tex=0.5x1.0]AYXQx0BMtpSPsr4BfOe2YQ==[/tex]，[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]的特征向量分别是[tex=6.429x1.429]byqQGNzmk3rn5PDy8xu2bJfsHCRTMgFMnGrrZ7X5JxKHs4gVKR6BdN31NZz2HvVX[/tex]，[tex=6.429x1.429]5jkLjn+YJPdL+AxBb7dksQnKoiSB4WWTg6LTWWhVQEM=[/tex]求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]属于特征值 3 的特征向量
内容
- 0
设 3 阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为-1,1,-2,求[tex=7.5x1.357]Q/9JzYLHJldrq38JL0y6hZK5orlmQ8iH1AqAsI1BYTVTJR5fOqeqnDducj5PfBuB[/tex]
- 1
设三阶对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值为6,3,3，与特征值6对应的特征向量为[tex=5.286x1.5]7SO+1xanaUBExj3X4I1Ptj6zjgGXxaG/QZ3ARAaDg0U=[/tex]，求[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] .
- 2
设 4 阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足条件[tex=13.429x1.571]pNXwj7dxoGbcprO3/HATinbMcrt8sC5y1uPd3TRH6ssCiv8WtIXVXb9cSHXuJP20[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为 4 阶单位矩阵，求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有一个特征值。
- 3
求解下列矩阵对策,其中赢得矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为$\left[\begin{array}{llll}2 & 7 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 6\end{array}\right]$
- 4
设 3 阶实对称矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值为 6、3 、 3， 与特征值 6 对应的特征向量为 [tex=6.929x1.286]P7m89WiGmN+qYSkz4792P+GrblnpfD/w6lXOEvICZQ8=[/tex]，求与特征值 3 对应的特征向量。