求证:若存在正整数 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex], 使非零矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合 [tex=2.714x1.214]x3KmvayO1FjyHcbDVqm3Yw==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必不相似于对角矩阵.
举一反三
- 下列结论错误的是 未知类型：{'options': ['若矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的初等因子有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个, 则\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的 Jordan 标准型有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个 Jordan 块', '若矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的非常数不变因子有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个, 则\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的 Jordan 标准型有\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0个 Jordan 块', '若矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有一个初等因子是\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0次多项式, 则与它相应的 Jordan 块是\xa0[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]\xa0阶矩阵', '矩阵\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的初等因子的次数之和等于\xa0[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的阶'], 'type': 102}
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵，求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合 [tex=2.786x1.429]zLK4b0xfa8l2qud8QMIeoQ==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必可对角化;(2) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合 [tex=2.714x1.214]+yxb2fEUuHYxLwX2MLViFg==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必可对角化.
- 求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和对角矩阵 [tex=9.286x1.357]4hVOD4TWSI62OX9AhSJlcFT9/s8GpEqLGvCv8s+mV12qyqoqYS5txrxH/yqVh2LI[/tex] (或任意一个主对角元素互不相同的对角矩阵) 乘法可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是对角矩阵; 若进一步 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 还和第一类初等矩阵可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是数量矩阵 [tex=1.429x1.214]FxIjkBm1yL0dMFtX1spLfQ==[/tex] (由此可知, 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数量矩阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和所有可逆矩阵可交换).
- 证明：如果实矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正交相似于对角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对称矩阵.
- 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是上三角矩阵且主对角线上的元素全相同, 除主对角线上的元素外, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 至少还有一个元素非零, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型必不是对角阵.