设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为一简单闭曲线,[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]与[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部及[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]上解析,并且在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]上有 [tex=4.286x1.357]HmaFCIhDwqteOxrMRU/E3w==[/tex],那么在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内必有[tex=4.286x1.357]HmaFCIhDwqteOxrMRU/E3w==[/tex].

若[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在周线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内部除有一个一阶级点外解析,且连续到 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex],在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 上 [tex=4.714x1.357]TmcsBXzsCVLNElUdaha8WH7fTrtrO9XaTLzNCp3k4xU=[/tex]证明[tex=7.786x1.357]ydNC3EcZ+5ATq34rwwixhCP9QszFjZKwPO53sJ4s3UI=[/tex]在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部恰好有一个根.

 如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在简单闭曲线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 及其内部解析且在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 上有 [tex=3.357x1.357]NgmJJpzN2HvpxzS47JUJGA==[/tex] 证明在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内部 [tex=3.357x1.357]NgmJJpzN2HvpxzS47JUJGA==[/tex]

设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是一条周线,且设(1) [tex=4.143x1.357]Wy3cd4kyceqegPIDJ3x11j2jym1Kg4lFoW1rOkTlGpM=[/tex]在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内部亚纯,且连续到[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex],(2) 沿[tex=7.286x1.357]XWbpt2HRfoTV0aZ1h1ig7I4qTwaTFFBXd7MFEm482XA=[/tex],则(试证) [tex=25.571x1.357]S/PgHmSM7NO+JOQc/JazMAFE9Aff9/2LMeNZ5hD7T7yaeXuvLfgKlxqQZzwI3KF3ViV8oQdGBLBAVp0DCcLlgsHXj3TH8EaufiCuCImQSp8=[/tex]

若 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在周线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部亚纯且连续到 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex],试证:若[tex=1.857x1.071]7rPBI34Q2mpj9E7/vhxpyQ==[/tex] 时, [tex=4.143x1.357]yGYszs3HQdWtSKOZI+V5AQ==[/tex], 则方程 [tex=3.071x1.357]LTnccpVHbe073DrIO6gKaA==[/tex] 在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的内部根的个数,等于[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的内部的零点个数.

若 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在周线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部亚纯且连续到 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex],试证:若 [tex=1.857x1.071]7rPBI34Q2mpj9E7/vhxpyQ==[/tex] 时，[tex=4.143x1.357]+pWeRorbNxTM0GmkXzpPmA==[/tex], 则方程[tex=3.071x1.357]LTnccpVHbe073DrIO6gKaA==[/tex] 在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的内部根的个数,等于 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的内部的极点个数.

设曲线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是旋转面[tex=14.929x1.357]qJtg9UpQ2uL0/hPbUJ0vjiyMbrbbwyvqiTvo07flICazGIeDUMqEcU6spIqoRkqkk2F+XYzcizR2GopzPZbymQ==[/tex]上的一条测地线,用[tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex]表示曲线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]与经线的交角.证明: 沿测地线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]成立恒等式[tex=4.929x1.357]vSqvzw60iKi7HLOEhjEdPF3+iXhXciqaql3AxPfnuYI=[/tex]常数.

设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为一切收敛数列所组成的空间,其中的线性运算与通常序列空间相同. 在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 中令 [tex=11.143x2.0]xoPqwMiGEElkv/9pVUDyZ/D5euUJ4wjGDcznEq617qGYsS6jCcGkwYjFkBbHZtgYyNglcorWQCbPOmgghFeANo9Tkaw2jrUcrvjZp34T8AM=[/tex], 证明 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是可分的 [tex=3.429x1.0]hRlWsjFqxdxSbRSyuIRayg==[/tex] 空间.

若[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在周线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部亚纯且连续到[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，试证：(1)若[tex=1.857x1.071]7rPBI34Q2mpj9E7/vhxpyQ==[/tex]时，[tex=4.143x1.357]+pWeRorbNxTM0GmkXzpPmA==[/tex]，则方程[tex=3.071x1.357]LTnccpVHbe073DrIO6gKaA==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的内部根的个数，等于[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的内部的极点个数。(2)若[tex=1.857x1.071]rOaeet5J+PwqfV28jYM8mA==[/tex]$ 时，[tex=4.143x1.357]yGYszs3HQdWtSKOZI+V5AQ==[/tex]，则方程[tex=3.071x1.357]LTnccpVHbe073DrIO6gKaA==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的内部根的个数，等于[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的内部的零点个数。

设 [tex=4.357x1.357]tgXzZuo5eIYlIaH5Xnk01IgEw5opxn064OzrnH8nMWQ72+2IbzFVXopclkoWekA+[/tex], 求环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的中心 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 且证明 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 不是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。