设[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个可以对角化的线性变换。令[tex=1.0x1.214]xPJ1hCmvqITeEPzCfT1lOQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]k2FJ8WINdkHOltIKe8Hiag==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.214]hfKQ3ShqnumcGfMjwDP+0g==[/tex]是[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]的全部本征值。证明，存在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的线性变换[tex=0.929x1.0]GIJA+ElcF8sfFVDzHxfsvg==[/tex]，[tex=0.929x1.0]vjXVNjFU7EbPD0ok8JKRfA==[/tex]， [tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.0]HWeZAYU//BafVt4l8c1/Cw==[/tex]，使得[tex=7.643x1.143]fVqvS4SqHBNMpu9CtAoJ3tjdwlivYJVaK1oikoGC1lRIgnobQhkFNEjyskbTHoGA[/tex]，[tex=0.357x0.786]wjiWjr5QLhwIIfwcNUAoqA==[/tex] 是单位变换

2022-06-14

设[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个可以对角化的线性变换。令[tex=1.0x1.214]xPJ1hCmvqITeEPzCfT1lOQ==[/tex]，[tex=1.0x1.214]k2FJ8WINdkHOltIKe8Hiag==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.214]hfKQ3ShqnumcGfMjwDP+0g==[/tex]是[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]的全部本征值。证明，存在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的线性变换[tex=0.929x1.0]GIJA+ElcF8sfFVDzHxfsvg==[/tex]，[tex=0.929x1.0]vjXVNjFU7EbPD0ok8JKRfA==[/tex]， [tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.857x1.0]HWeZAYU//BafVt4l8c1/Cw==[/tex]，使得[tex=7.643x1.143]fVqvS4SqHBNMpu9CtAoJ3tjdwlivYJVaK1oikoGC1lRIgnobQhkFNEjyskbTHoGA[/tex]，[tex=0.357x0.786]wjiWjr5QLhwIIfwcNUAoqA==[/tex] 是单位变换

答案：

因[tex=16.143x4.0]PGLqRKyblLze7lmDhK+cX+dc7mSAeDDc78BzyDdZFEX6PbIVpJW3Qx2vqVsKIXAQjjnCQ9o42mohCXg2nnSWE4vPonloMC/y+khehcHQhFSi1xNIpWNbMaClw29CUs7lBG0lbNHKfLhpzoyrv4Y4m23mYEHM86c2rphaU6t2q6+JVTUgv9HZwLYLG/p7a0hWsbGP7MW1yG0kBEiAi1XvYm+5vPUB2RURrEoPdPPBnB4gYSDKBj8fW59N9qftU+q4b1nEN/ZYzE0bKJz2hId5q86kYoJEQx6uC17/tHq8vQw=[/tex]所以[tex=7.786x1.143]fVqvS4SqHBNMpu9CtAoJ3tjdwlivYJVaK1oikoGC1lSBeeryFYqoQfEt3t77bOOd[/tex]。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维向量空间, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上线性变换全体组成的向量空间的维数为未知类型：{'options': ['[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]', '[tex=4.214x2.357]IUzNW3ibLr/OWaHCXAUbVLoT+759jmG7AZpDREjIMyU=[/tex]', '[tex=1.0x1.214]uiEuUzx4dMJYCyEEsqGEJw==[/tex]', '无穷大'], 'type': 102}
1
令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的，如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明，[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex]，证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。
2
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵组成的线性空间, 令 [tex=14.071x1.357]526RfeuoVuYFKMeevCzg3ALQwrIMoLSjnd4jNqAgq3b0SbOJw1J3W132MAq3sEvgFgMY+RJMUHzLRJJVfTrs8Q==[/tex] 是第 [tex=1.857x1.357]DPfV/kz2+j7DkAnudNw66w==[/tex] 元素为 1 、其余元素为 0 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证: 全体 [tex=1.286x1.286]TpiThXZs62EvtJGFwo2zsw==[/tex] 组成了 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, 因而 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=1.5x0.786]uDlrM/k6mXUKzRmRUTQRAw==[/tex] 维线性空间.
3
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个双线性函数. 证明：[tex=13.429x1.286]MyfT4pXHX7fJ0rpluwSnCSQO5KLtoJ5AHPQd3E61UJQvL19TIkXjV01aXM872yvLt3VghIHvCdD9z7mcCrYvKyvKps/gVcCnQ+hpLcDaTdU=[/tex].
4
（1）构造一个连续函数，它仅在已知点[tex=0.929x1.0]qh9CWHOcuuaSIXcHedVE7Q==[/tex]，[tex=0.929x1.0]CoVdHs2biybTU/WOehPjnQ==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]0GU//5PJyC1ZogOpKG0U3A==[/tex]处不可导；（2）构造一个函数，它仅在点[tex=0.929x1.0]qh9CWHOcuuaSIXcHedVE7Q==[/tex]，[tex=0.929x1.0]CoVdHs2biybTU/WOehPjnQ==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]0GU//5PJyC1ZogOpKG0U3A==[/tex]处可导。