利用单调有界数列必定收敛的性质,证明数列 [tex=14.214x1.5]UebQy5BR388uInyUKzqkBdtI1AbNJAT+28Uwk/h0GxJiAykX3Y5pCfRF6C+JClNC/tGWumr+p1njrUicGGwO4Q==[/tex] 收敛,并求出极限.

2022-05-27

利用单调有界数列必定收敛的性质,证明数列 [tex=14.214x1.5]UebQy5BR388uInyUKzqkBdtI1AbNJAT+28Uwk/h0GxJiAykX3Y5pCfRF6C+JClNC/tGWumr+p1njrUicGGwO4Q==[/tex] 收敛,并求出极限.

答案：

首先有 [tex=6.786x1.5]6LfENuaWXKXgcFG2x6SvmmoXc2KCoPAPUSGskUpsGhI=[/tex],设 [tex=4.643x1.214]DQZglTDuyessmbbUpuAgzA==[/tex], 则 [tex=8.643x1.429]WK5c51+s7hMXFiFniRZVjNWBEz+k7/a68eDRRkT9ns8=[/tex], 由数学归纳法可知 [tex=6.214x1.214]dv49gMhKGpIq79cvwfR1kqaRFYO8BwP6Jac3KAQY/jg=[/tex]. 由 [tex=18.5x2.214]/wXVKK4YyTSjtorQ+I97d5uJ9pRHxrRrhFpecml+KJ/wtFzCfKTy/jXuUy5BjWY4XAJKVqZLlfnhQZjakhHgwjNNONrRD4LYrONeCVvlZS0uvQc7Mn8szTXHUN1otER8[/tex], 可知 [tex=2.0x1.357]CjCvAldACdhCbOUJYZLY+0nRBLhCQFA+2tCS8je5CxI=[/tex] 是单调增加有上界的数列,因此收敛. 设 [tex=4.286x1.714]n5iZh71z5tbUBOVnzp1s/QRn6IcUQkemyaucGhNztKzQgK1XFzrUdBv1e9q/y/9N[/tex], 对等式 [tex=5.071x1.429]muVZAvTxmlL3rAhE6jQXHzg9eYQ2J5ZbrR1bWtx5N6k=[/tex] 两端求极限，得到方程 [tex=3.286x1.429]DF6JNlOYCHQ377cmtOQ1hQ==[/tex], 解 此方程得 [tex=1.857x1.0]ON39N4lzZUkEsgDqO4V1Xg==[/tex], 因此 [tex=4.286x1.714]OqU0SQaVHd2x+OGLCy0gvcSD1JSooLY5K80iiCjWVQfzUxltRrNUrVO0vg/jhrGi[/tex] .

举一反三

内容

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利用关于单调有界数列极限存在的定理,证明以下各数列的收敛性:[br][/br][tex=15.143x2.786]ULAugtjOYQK+tBrizs5LR1hjz+QlTSiL6Q4HVs4m0iYT1lzn62NtJKwEECIQqv2NayAHEIkwqGeGDh8aa9oJGchWojNPyjphBGLOGS+zMbWBZHJ7eAggeERA+QGilhQ4[/tex]
1
利用关于单调有界数列极限存在的定理,证明以下各数列的收敛性:[br][/br][tex=10.214x2.429]d16fxmCSV3OgJaGsGHuHu0agK6ZmZfSuobd12gSm6R4/8XXYZWlc9x9Ai4ksfk5E4HMbKP10Z+WBcaJDm0rCj+jLpCkzR0uomF+0ylfzGZk=[/tex]
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利用柯西准则,证明以下各数列的收敛性:[br][/br] 对于数列 [tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex], 若存在数 [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex], 使得[br][/br][tex=23.857x1.357]WiudHel+CKjlqtaAVhIMg2eC15j9zNbVWaU/oYLoAXSZPAFpcbBRItx10o+t6fEjWRvWgiHowdHw0jQSAuca3gx1Yo0no3zebxrZE8atwJcg0FhRQxML+BmW9chsmbtLyX3NjVlgxYR2lFLZ7aHYwLHZ6osWp+em5CPdb1VVh1U=[/tex][br][/br]则称数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 有有界变差.[br][/br]证明:凡有有界变差的数列是收敛的.举出一个收敛数列而无有界变差的例子.
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利用极限定义证明：单调数列 [tex=2.071x1.286]wQgQvXSCqvKzTzdepi6qeg==[/tex] 收敛于 [tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]的充分必要条件是存在子数列[tex=2.5x1.286]Z92ZmgVOcM5RSPFCuAzya9LmuXKNmEKeBTAVYgp0LF8=[/tex] 收敛于[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]。
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下列叙述正确的是? 收敛数列必有界;|有界数列必收敛;|收敛数列必单调;|单调数列必收敛.