证明:方程[tex=5.429x1.214]unY/GxrtAwP+9oZ/4P89yQ==[/tex]([tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为正整数,[tex=1.429x1.0]EHzsglf5n1gYY95L4Z4giQ==[/tex]为实数),当[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为偶数时至多有两个实根,当 [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为奇数时至多有三个实根.[br][/br][br][/br]

2022-06-01

证明:方程[tex=5.429x1.214]unY/GxrtAwP+9oZ/4P89yQ==[/tex]([tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为正整数,[tex=1.429x1.0]EHzsglf5n1gYY95L4Z4giQ==[/tex]为实数),当[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为偶数时至多有两个实根,当 [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为奇数时至多有三个实根.[br][/br][br][/br]

答案：

证 先证明如下结论 : 若多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]的导函数[tex=2.143x1.429]GYJFmsRHJbupfnHXDLmqkw==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个实根,则[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]至多有 [tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个实根.[br][/br]反证法 : 设[tex=3.143x1.357]fTG1FZI0tgJLfx6r2f2XYw==[/tex]有[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个以上的实根,则至少为[tex=1.929x1.143]PBwl350PuYlipWkyI2wYNw==[/tex]个,设其前[tex=1.929x1.143]PBwl350PuYlipWkyI2wYNw==[/tex]个实根依次为[tex=5.714x1.357]IY5KRa7xZ+NRk0NTZLWaeqDiQxqacminTPg56he83QWVXpGgrTsExq8vA4M7N4JG[/tex][tex=5.571x1.357]h+vKhd5Uc7HurqFXXh5x/dKpxPsL5O763UWdKSG5X5w=[/tex][tex=9.857x1.357]f8ry4uO/lMN+nQwuZI6/YwV2u02Jjyh5tjbWj3ujr0QigUpo5wBdcPBeBhb3tcwY[/tex],则由罗尔定理知[tex=6.071x1.357]m8Iq3kY4OzJrthSnp8cvtWi+ghGiB7G5xLVZ88Fw0vwVSrz4wpcSReOFabjdOW2o[/tex][tex=7.429x1.357]rqwU/tPisJSdcZoAHmiq9s8R74d2vwuL3qORNQT4I2E=[/tex],使[tex=3.929x1.429]ixPeGyDjs/nARTJWY9zejIy8n8lcCX/guDgY9wWWsbz0fk5ceX5uoYbYBFalecMc[/tex][tex=7.429x1.357]rqwU/tPisJSdcZoAHmiq9s8R74d2vwuL3qORNQT4I2E=[/tex],与[tex=3.429x1.429]T7OKF7IzhV1qnxTFOF/QIvhBnCVn9INMX5QO7Ppjn10=[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个定根矛盾. 故结论成立.[br][/br]记[tex=6.786x1.357]ZPfu5MFT2LqsM9R5iomUceQzczIdr/q9NojcxDb4DAc=[/tex]则[tex=6.786x1.5]U93ae75fuTDIyESpUsh0ZqI6ePBe7E+QvVNxyYmW4yc=[/tex][br][/br]当[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为偶数时,即[tex=2.429x1.0]hwZpeUsiXv4dUA3MkAbM1w==[/tex]时[tex=7.5x1.5]U93ae75fuTDIyESpUsh0Zm07wO4zbHRjfCB2S8hVw26pxsFtbRfXigykwVvFK7fT[/tex]方程[tex=3.5x1.429]qmyrsbDbKAn2BbTTgCcQ/8zu6GdkzGQm2oajuwgkPfY=[/tex]仅有一个实根[tex=6.286x2.5]gNWhtvbL8OUQiw2oXBwHJFjeYaGmgReHE39WYJhhhranq/lYauIpDzGQnTKcRRe96+Bs80m8RTLhcxRYHzdV8w==[/tex][br][/br]故[tex=3.143x1.357]ikNCQbFKa7Qzk9pWW0P0LA==[/tex],即[tex=5.429x1.214]g7DtNbRyz8GtTMjgd3azmA==[/tex]至多有两个实根.当[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为奇数时, 即[tex=3.714x1.143]OKoRX8zUZ2sjFIF5Ykx73w==[/tex]时,[tex=8.643x1.5]U93ae75fuTDIyESpUsh0Zut1CXb2r+J22gqBTOUsUmfLhgpMKStARlSJ0HzIUwKu[/tex][br][/br]方程[tex=3.5x1.429]qmyrsbDbKAn2BbTTgCcQ/8zu6GdkzGQm2oajuwgkPfY=[/tex]至多有两个实根[tex=12.429x3.071]b7X82Q/lZwuAWGY9n6qJ/kMrO/Fxg0JCfOSKVRVG23C717arIY0JqkH8g3uAfz9p+FfDiQLRk+h6i7J7JayABNdu07WreZOLUB+w5AFc/HQ=[/tex][br][/br]故[tex=3.714x1.357]65B6ryUjJi4PhOvbjiu/QQ==[/tex]即[tex=5.429x1.214]g7DtNbRyz8GtTMjgd3azmA==[/tex]至多有三个实根.[br][/br]由此,结论得证.

举一反三

内容

0
对于函数 [tex=1.643x1.357]Wfem9oxh0ZS7nZ3KGomKoQ==[/tex], 求拉普拉斯变换[tex=13.857x2.714]qjl5A2XSFA/C1UXoJF9uLAgHyEqRCTjhXVPYdLm5qraKPJqsafMQCSkMCuxrweEmdZ5vr90aJOYwP3k6ha7U4Q==[/tex]设：[tex=3.286x1.357]XfOaSb6EeUu7BrqGGHYIPQ==[/tex]([tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 为正整数)
1
设 [tex=2.714x1.214]H+eWYxlrz4hqdq+frO1Mpg==[/tex] 证明: [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 个互不相同的素数的几何平均数一定是无理数.
2
证明函数 [tex=3.5x1.357]Sqq2W/zsUfNCm9a1W7wgLQ==[/tex]([tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 为正整数 ) 在复平面内处处可导, 并且 [tex=5.643x1.5]dNwQY5oEJJleIhonccp7DzjcvLWmiyZeCdeWxuXY4Aw=[/tex]
3
证明群中的指数规则[tex=5.0x1.357]8gU3fRp8R0O1rdwfiZPtswofruVT/uMAzczMaIxJHuA=[/tex]([tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]，[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]均为任意整数 )。
4
设[tex=5.5x3.643]yx6/ns3c+89hz1voGTRk72un+Gkpn+oUPPjg3N3ent29u42/2khUScILQzaMnE2ZYWMk3bGFJ+EDTD+pYYXjKg==[/tex],矩阵[tex=3.286x1.214]EgjGkT1tewylWGgYvLU4ubwyaf67xscRyhYP1GjcV3M=[/tex],[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]为正整数,求行列式[tex=3.929x1.357]YRyUK7/deoRwjXRQPoN40Bke5aFfFOATU/g+vmnSp5LgD+gumn6n9SCBhT1+oO5a[/tex]的值.